Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Функция как производная своей первообразной (страница 2)

\(F(x)\) – первообразная для \(f(x)\), если \(F'(x)=f(x)\) для всех \(x\) из области определения \(f(x)\).

 

Имеют место следующие формулы:

\[\large \begin{aligned} &\blacktriangleright F(x)+c = \int f(x)dx,\qquad c - \text{число}.\\ &\blacktriangleright \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) - \text{формула Ньютона-Лейбница}.\\ &\blacktriangleright \int_{a}^{b}f(x)dx=S_{\text{кр.тр.}} - \text{площадь криволинейной трапеции.} \end{aligned}\]


 

\[\large{S_{ABCD}=\int_{1}^{4}\left(\dfrac{1}{2}\sin x+3\right)dx}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображён график функции \(y = F(x)\) – одной из первообразных некоторой функции \(y = f(x)\), определённой на интервале \((-1,1; 8,3)\). Определите по рисунку количество решений уравнения \(f(x) = 0\) на отрезке \([-1; 6]\).

 

Добавить задание в избранное

По определению первообразной \(f(x) = F'(x)\), тогда уравнение \(f(x) = 0\) равносильно \(F'(x) = 0\). Производная функции равна \(0\) в точности в тех точках, где касательная к её графику параллельна оси \(Ox\).

 

По рисунку видно, что на отрезке \([-1; 6]\) касательная к графику \(y = F(x)\) параллельна оси \(Ox\) в \(5\) точках (в точках с абсциссами \(x = -0,5\), \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 5\)).

Ответ: 5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). Функция \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 10x\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

Добавить задание в избранное

Площадь под графиком неотрицательной функции \(f(x)\) от точки \(x = a\) до точки \(x = b\) равна \(F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\).

 

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна \(F(4) - F(1) = 6\).

Ответ: 6

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображён график функции \(y = f(x)\). Функция \(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 7x + \sqrt{\pi}\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

 

Добавить задание в избранное

Площадь под графиком неотрицательной функции \(f(x)\) от точки \(x = a\) до точки \(x = b\) равна \(F(b) - F(a)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных функции \(y = f(x)\).

 

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна \(F(3) - F(0) = 7,5\).

Ответ: 7,5

1 2