Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной с точками экстремума функции (страница 2)

В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точки}}}}\) (локального) \(\color{royalblue}{{\large{\text{экстремума}}}}\) функции – это точки (локального) максимума и минимума.

 

\({\small {\text{Окрестность — это интервал вокруг точки некоторого радиуса. Например, окрестностью точки } x=0 \text{ можно назвать}\\ \text{интервал } (-1;1), \text{ или } (-0,1;0,1), \text{ или } (-0,0000001;0,0000001).}}\)

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точка максимума }}}}\) \(x_{max}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\leqslant f(x_{max})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{max}\).

 

\({\small {\text{То есть можно найти такую окрестность, что для любой точки из этой окрестности будет выполнено данное неравенство.}}}\)
\({\small {\text{Заметим, что, например, если функция определена на отрезке } [0;2], \text{ то все точки интервала } (0;2) \text{ будут внутренними,}\\ \text{а вот точки }0 \text{ и } 2 \text{ — граничными (то есть не внутренними).}}}\)

 

\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{{\large{\text{Точка минимума }}}}\) \(x_{min}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\geqslant f(x_{min})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{min}\).


 

Например, для точки \(C\) за окрестность можно взять интервал \((3;5)\) или даже \((2;6)\), а можно совсем маленький — \((4-0,01;4+0,01)\).


 

Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.

 

\(\blacktriangleright\) Если производная \(f'\) в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” , то эта точка является точкой максимума.
Заметим также, что если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой максимума.

\({\small {\text{Пример: в точке } A \text{ производная равна нулю и эта точка является точкой максимума;}}}\)
\({\small {\text{в точке } C \text{ производная не ''равна нулю'' , а не существует, при этом точка } C \text{ также является точкой максимума.}}}\)

 

\(\blacktriangleright\) Если производная в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” , то эта точка является точкой минимума.
Также, если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой минимума.

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что точки экстремума – это значение абсциссы \(x\).

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,5; 8,4)\). В какой точке отрезка \([-1; 6]\) функция \(y = f(x)\) принимает наибольшее значение?

 

Добавить задание в избранное

По рисунку можно определить, что функция \(y = f'(x)\) на отрезке \([-1; 6]\) принимает неотрицательные значения, при этом \(f'(6) = 0\). Так как на полуинтервале \([-1; 6)\) производная функции \(f(x)\) положительна, то сама функция \(f(x)\) на \([-1; 6)\) возрастает, тогда \(y = f(x)\) на отрезке \([-1; 6]\) принимает наибольшее значение при \(x = 6\).

Ответ: 6

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,1; 7,5)\). В какой точке отрезка \([2; 6]\) функция \(y = f(x)\) принимает наибольшее значение?

 

Добавить задание в избранное

По рисунку можно определить, что функция \(y = f'(x)\) на отрезке \([2; 6]\) принимает неотрицательные значения, при этом \(f'(4) = f'(6) = 0\). Так как на полуинтервале \([2; 4)\) производная функции \(f(x)\) положительна, то сама функция \(f(x)\) на \([2; 4)\) возрастает, затем при \(x = 4\) производная обращается в \(0\), но дальше снова положительна на \((4; 6)\), тогда \(y = f(x)\) возрастает на \((2; 6)\) и принимает наибольшее на \([2; 6]\) значение при \(x = 6\).

Ответ: 6

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,3; 8,6)\). В какой точке отрезка \([1,5; 7]\) функция \(y = f(x)\) принимает наименьшее значение?

 

Добавить задание в избранное

По рисунку можно определить, что функция \(y = f'(x)\) на полуинтервале \([1,5; 5)\) принимает отрицательные значения, \(f'(5) = 0\), на полуинтервале \((5; 7]\) функция \(f'(x)\) положительна.

 

Тогда на \([1,5; 5)\) функция \(f(x)\) убывает, в \(x = 5\) достигается локальный минимум \(f(x)\), затем на \((5; 7]\) функция \(f(x)\) возрастает. Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x)\) на \([1,5; 7]\) достигается при \(x = 5\).

Ответ: 5

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-1,5; 8,5)\). Найдите количество точек максимума функции \(y = f(x)\), принадлежащих отрезку \([-1; 8]\).

 

Добавить задание в избранное

По рисунку можно определить, что функция \(y = f'(x)\) на полуинтервале \([-1; 0)\) принимает положительные значения, \(f'(0) = 0\), на полуинтервале \((0; 8]\) функция \(f'(x)\) отрицательна.

 

Тогда на \([-1; 0)\) функция \(f(x)\) возрастает, в \(x = 0\) достигается локальный максимум \(f(x)\), затем на \((0; 8]\) функция \(f(x)\) убывает. Таким образом, на \([-1; 8]\) функция \(f(x)\) имеет одну точку максимума.

Ответ: 1

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y = f'(x)\) – производной функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 10,7)\). Найдите количество точек минимума функции \(y = f(x)\), принадлежащих полуинтервалу \([0; 10,7)\).

 

Добавить задание в избранное

При переходе через точку локального минимума функции \(f(x)\) её производная \(f'(x)\) должна менять знак с минуса на плюс. По рисунку видно, что \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс на \([0; 10,7)\) один раз – при \(x \approx 9,5\).

Ответ: 1