В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).
\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{\text{Точки}}\) (локального) \(\color{royalblue}{\text{экстремума}}\) функции – это точки (локального) максимума и минимума.
Окрестность – это интервал вокруг точки некоторого радиуса. Например, окрестностью точки \(x=0\) можно назвать интервал \((-1;1)\), или \((-0,1;0,1)\), или \((-0,0000001;0,0000001)\) и т.д.
\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{\text{Точка}}\) \(\color{royalblue}{\text{максимума}}\) \(x_{max}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\leqslant
f(x_{max})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{max}\).
То есть можно найти такую окрестность, что для любой точки из этой окрестности будет выполнено данное неравенство.
Заметим, что, например, если функция определена на отрезке \([0;2]\), то все точки интервала \((0;2)\) будут внутренними, а вот точки \(0\) и \(2\) – граничными (то есть не внутренними).
\(\blacktriangleright\) \(\color{royalblue}{\text{Точка}}\) \(\color{royalblue}{\text{минимума}}\) \(x_{min}\) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: \(f(x)\geqslant
f(x_{min})\) для любого \(x\) из некоторой окрестности точки \(x_{min}\).
Например, для точки \(C\) за окрестность можно взять интервал \((3;5)\) или даже \((2;6)\), а можно совсем маленький — \((4-0,01;4+0,01)\).
Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.
\(\blacktriangleright\) Если производная \(f'\) в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” , то эта точка является точкой максимума.
Заметим также, что если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(+\)” на “\(-\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой максимума.
Пример: в точке \(A\) производная равна нулю и эта точка является точкой максимума; в точке \(C\) производная не “равна нулю”, а не существует, при этом точка \(C\) также является точкой максимума.
\(\blacktriangleright\) Если производная в точке \(x\) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” , то эта точка является точкой минимума.
Также, если производная \(f'\) в точке \(x\) не существует и меняет свой знак слева направо с “\(-\)” на “\(+\)” (но \(x\) – внутренняя точка области определения функции \(f\,\)!), то эта точка является точкой минимума.
\(\blacktriangleright\) Заметим, что точки экстремума – это значение абсциссы \(x\).
\(\blacktriangleright\) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.
