Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если уравнение прямой задано в виде \({\color{royalblue}{y=kx+b \;}}\), то число \(k\) называется угловым коэффициентом.

 

\(\blacktriangleright\) Угол \(\alpha\) наклона прямой – это угол между этой прямой и положительным направлением оси \(Ox\) (\(0\leqslant \alpha< 180^\circ\)), лежащий в верхней полуплоскости.

 

\(\blacktriangleright\) Основная формула. Угловой коэффициент прямой \(y=kx+b\) равен тангенсу угла наклона этой прямой:

\[{\large{\color{royalblue}{k=\mathrm{tg}\, \alpha}}}\]
Т.к. касательная к графику некоторой функции — это и есть прямая, то для нее верны все эти утверждения.


 

Если \(\alpha<90^\circ\), то \(k>0\);

если \(\alpha>90^\circ\), то \(k<0\);

если \(\alpha=0^\circ\), то \(k=0\) (уравнение прямой имеет вид \(y=b\) и она параллельна оси \(Ox\));

если \(\alpha=90^\circ\), то уравнение прямой имеет вид \(x=a\) и она перпендикулярна оси \(Ox\).

Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая \(y = kx + 6\) образует угол \(\dfrac{\pi}{4}\) радиан с отрицательным направлением оси \(Ox\). Найдите \(k\).

Добавить задание в избранное


 

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Так как угол между прямой \(y = kx + 6\) и отрицательным направлением оси \(Ox\) равен \(\dfrac{\pi}{4}\) радиан, то угол между прямой \(y = kx + 6\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\) радиан, тогда \(k = \mathrm{tg}\, \dfrac{3\pi}{4} = -1\).

Ответ: -1

Задание 9
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите угол \(\alpha\) между прямой \(y = \sqrt{3}x + 3\sqrt{3}\) и положительным направлением оси \(Ox\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(\mathrm{tg}\, \alpha = \sqrt{3}\). Так как градусная мера угла между двумя прямыми лежит в полуинтервале \([0; 180^{\circ})\), а \(\mathrm{tg}\, \alpha = \sqrt{3} > 0\), то \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), следовательно, \(\alpha = \mathrm{arctg}\, (\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}\). В итоге \(\alpha = 60^{\circ}\).

Ответ: 60

Задание 10
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Прямая \(y = 21x - 6\) образует угол \(\alpha\) с положительным направлением оси \(Ox\), а прямая \(y = -3x\) образует угол \(\beta\) с положительным направлением оси \(Ox\). Найдите \(\mathrm{tg}\, \alpha\cdot\mathrm{ctg}\, \beta\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(\mathrm{tg}\, \alpha = 21\), а \(\mathrm{tg}\, \beta = -3\). Так как \(\mathrm{tg}\, \beta \neq 0\), то \(\mathrm{ctg}\, \beta = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\, \beta}\), откуда \(\mathrm{ctg}\, \beta = -\dfrac{1}{3}\). Итого: \(\mathrm{tg}\, \alpha\cdot\mathrm{ctg}\, \beta = 21\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -7\).

Ответ: -7

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите угол \(\alpha\) между прямой \(y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}x - 6\sqrt{64}\) и положительным направлением оси \(Ox\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Так как градусная мера угла между двумя прямыми лежит в полуинтервале \([0; 180^{\circ})\), а \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} > 0\), то \(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), следовательно, \(\alpha = \mathrm{arctg}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{\pi}{6}\). В итоге \(\alpha = 30^{\circ}\).

Ответ: 30

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(l\). При этом точка \(A\) имеет координаты \((1; 1)\), а точка \(B\) имеет координаты \((3; 2)\). Найдите тангенс угла \(\alpha\) между этой прямой и положительным направлением оси \(OX\).

Добавить задание в избранное

Достроим треугольник \(ABC\) так, что \(AC \parallel Ox\), \(BC \parallel Oy\) (тогда \(\angle C = 90^{\circ}\))


 

\(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{BC}{AC}\).

Длина отрезка \(AC\) равна модулю разности первых координат точек \(A\) и \(B\), тогда \(AC = 3 - 1 = 2\).

Длина отрезка \(BC\) равна модулю разности вторых координат точек \(A\) и \(B\), тогда \(BC = 2 - 1 = 1\). В итоге \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{BC}{AC} = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямые \(y = kx - 3\) и \(y = x - 7\pi\) образуют с положительным направлением оси \(Ox\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\). Найдите наибольшее из чисел \(k\) и \(\mathrm{tg}\, \beta\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(\mathrm{tg}\, \beta = 1\), \(k = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Из основного тригонометрического тождества находим, что \(\sin \alpha = \pm \dfrac{3}{\sqrt{13}}\), но с учётом \(0 \leq \alpha < \pi\) получаем, что \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13}}\).

 

В итоге \(k = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} : \dfrac{2}{\sqrt{13}} = 1,5\), а \(\mathrm{tg}\, \beta = 1 < 1,5 = k\), то есть большее из чисел \(k\) и \(\mathrm{tg}\, \beta\) равно \(1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямые \(y = k_1x - \sqrt{2}\) и \(y = k_2x + \pi \sqrt{2}\) образуют с положительным направлением оси \(Ox\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, при этом, \(k_2 = -k_1\), \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}}\). Найдите наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\).

Добавить задание в избранное

Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\), коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\).

 

Таким образом, \(k_1 = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), при том, что \(\sin \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}}\) и \(0 \leq \alpha < \pi\). Из основного тригонометрического тождества (для всякого \(\alpha\) выполнено \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)) получаем, что \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{10}\), тогда \(\cos \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}\), откуда либо \(k_1 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} : \dfrac{1}{\sqrt{10}} = 3\), либо \(k_1 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} : \left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) = -3\).

 

При условии \(k_2 = -k_1\) наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\) равен \(|k_1|\). При \(k_1 = 3\) и при \(k_1 = -3\) получаем \(|k_1| = 3\), тогда наибольший из коэффициентов \(k_1\) и \(k_2\) равен \(3\).

Ответ: 3

1 2 3