Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 2)

Если \(y=kx+b\) — уравнение касательной к кривой \(f(x)\), то

 

\[{\large{k=f'(x_o),}}\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx - 6k\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = -3\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = -3\).

Ответ: -3

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 2016\pi k^2\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = 3\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = 3\).

Ответ: 3

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Число \(c\in\mathbb{R}\) такое, что график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются. Найдите ординату точки касания.

Добавить задание в избранное

Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда

\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! f(x_0) = g(x_0) = y_0\\ &\!\!\! f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда

\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! {x_0}^2 + c = x_0 = y_0\\ &\!\!\! 2x_0 = 1\, \end{cases} \end{aligned} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! 0,25 + c = 0,5 = y_0\\ &\!\!\! x_0 = 0,5\,, \end{cases} \end{aligned}\]

то есть ответ: \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 2\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) + k = 5\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной, то есть

\[f'(x_0) = k.\]

Значит, так как \(f'(x_0) + k = 5\), то \(2\cdot f'(x_0) = 5\), откуда \(f'(x_0) = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = -kx + 11\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) - k = -1\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \(f'(x_0) = -k\). Так как \(f'(x_0) - k = -1\), то \(2\cdot f'(x_0) = f'(x_0) - k = -1\), откуда \(f'(x_0) = -0,5\).

Ответ: -0,5

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 2kx - k\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) + k = 12\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

 

Таким образом, \(f'(x_0) = 2k\), тогда \(k = 0,5f'(x_0)\). Так как \(f'(x_0) + k = 12\), то \(1,5\cdot f'(x_0) = f'(x_0) + k = 12\), откуда \(f'(x_0) = 8\).

Ответ: 8

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx - k\pi\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = -k\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \[k = f'(x_0),\] но по условию \(f'(x_0) = -k\), откуда находим \(k = f'(x_0) = 0\).

Ответ: 0

1 2 3