Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 2)

Если касательная параллельна прямой \(y=x\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=x\), следовательно, \(k=1\). Так как \(f'(x_0)=k=1\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой \(f'(x_0)=1\), то есть ордината равна \(1\). Следовательно, это \(x_0=-2\) (заметим, что в точке \(x=-3\) производная не определена, так как в условии задачи сказано, что она определена на интервале \((-3;5)\):

Ответ: -2

Из условия следует, что \(x_0=1\) – абсцисса точки касания. Следовательно, так как касательная проведена к графику \(f(x)\), то нужно найти \(f'(1)\).
Так как на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти точку, у которой абсцисса равна \(1\), и определить ее ординату. Из рисунка видно, что такая точка одна и ее ордината равна \(5\):

Ответ: 5

Если касательная параллельна прямой \(y=3x+1\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=3x+1\), следовательно, \(k=3\). Так как \(f'(x_0)=k=3\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой \(f'(x_0)=3\), то есть ордината равна \(3\). Также нужно учесть, что эта точка должна быть из отрезка \([-1;2]\). Следовательно, это \(x_0=1\):

Ответ: 1

Если касательная параллельна прямой \(y=2x-19\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=2x-19\), следовательно, \(k=2\). Так как \(f'(x_0)=k=2\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество таких точек, в которых \(f'(x_0)=2\), то есть ордината равна \(2\). Таких точек 4:

Ответ: 4

Если касательная параллельна прямой \(y=12\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=12\), то есть \(k=0\) (касательная горизонтальна). Так как \(f'(x_0)=k=0\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график функции, то на графике \(f(x)\) нужно найти точки, в которых \(f'(x)=0\). Это точки экстремума: их 7 штук.

Ответ: 7

Если касательная перпендикулярна прямой \(y=-0,5x+3\), то их угловые коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\) связаны соотношением: \(k_1\cdot k_2=-1\). Следовательно, если \(k_2=-0,5\), то \(k_1=2\). Так как \(f'(x_0)=k_1=2\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество точек, в которых \(f'(x_0)=2\), то есть ордината равна \(2\). Таких точек три:

Ответ: 3

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = 7\).

Ответ: 7