Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 2)

Если \(y=kx+b\) — уравнение касательной к кривой \(f(x)\), то

 

\[{\large{k=f'(x_o),}}\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Задание 8 #3989
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-3;5)\). Найдите абсциссу точки касания графика функции \(y=f(x)\) и прямой, параллельной прямой \(y=x\) или совпадающей с ней.

Добавить задание в избранное

Если касательная параллельна прямой \(y=x\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=x\), следовательно, \(k=1\). Так как \(f'(x_0)=k=1\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой \(f'(x_0)=1\), то есть ордината равна \(1\). Следовательно, это \(x_0=-2\) (заметим, что в точке \(x=-3\) производная не определена, так как в условии задачи сказано, что она определена на интервале \((-3;5)\):

Ответ: -2

Задание 9 #3987
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-3;5)\). Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(1\).

Добавить задание в избранное

Из условия следует, что \(x_0=1\) – абсцисса точки касания. Следовательно, так как касательная проведена к графику \(f(x)\), то нужно найти \(f'(1)\).
Так как на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти точку, у которой абсцисса равна \(1\), и определить ее ординату. Из рисунка видно, что такая точка одна и ее ордината равна \(5\):

Ответ: 5

Задание 10 #3986
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-2; 3)\). Найдите абсциссу точки, принадлежащую отрезку \([-1;2]\), в которой касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y=3x+1\) или совпадает с ней.

Добавить задание в избранное

Если касательная параллельна прямой \(y=3x+1\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=3x+1\), следовательно, \(k=3\). Так как \(f'(x_0)=k=3\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти абсциссу точки, в которой \(f'(x_0)=3\), то есть ордината равна \(3\). Также нужно учесть, что эта точка должна быть из отрезка \([-1;2]\). Следовательно, это \(x_0=1\):

Ответ: 1

Задание 11 #3985
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-3; 8)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y=2x-19\) или совпадает с ней.

Добавить задание в избранное

Если касательная параллельна прямой \(y=2x-19\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=2x-19\), следовательно, \(k=2\). Так как \(f'(x_0)=k=2\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество таких точек, в которых \(f'(x_0)=2\), то есть ордината равна \(2\). Таких точек 4:

Ответ: 4

Задание 12 #3984
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-3,1; 8,15)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y=12\).

Добавить задание в избранное

Если касательная параллельна прямой \(y=12\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=12\), то есть \(k=0\) (касательная горизонтальна). Так как \(f'(x_0)=k=0\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график функции, то на графике \(f(x)\) нужно найти точки, в которых \(f'(x)=0\). Это точки экстремума: их 7 штук.

Ответ: 7

Задание 13 #3990
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-4;7)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(y=f(x)\) перпендикулярна прямой \(y=-0,5x+3\).

Добавить задание в избранное

Если касательная перпендикулярна прямой \(y=-0,5x+3\), то их угловые коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\) связаны соотношением: \(k_1\cdot k_2=-1\). Следовательно, если \(k_2=-0,5\), то \(k_1=2\). Так как \(f'(x_0)=k_1=2\), где \(x_0\) – точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество точек, в которых \(f'(x_0)=2\), то есть ордината равна \(2\). Таких точек три:

Ответ: 3

Задание 14 #705
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = kx - 23\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = 7\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = 7\).

Ответ: 7

1 2 3 .... 5