7. Взаимосвязь функции и ее производной
Если \(y=kx+b\) — уравнение касательной к кривой \(f(x)\), то
\[{\large{k=f'(x_o),}}\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.
Прямая, заданная уравнением \(y = kx - 6k\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = -3\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).
Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = -3\).
Ответ: -3
Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 2016\pi k^2\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = 3\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).
Таким образом, \[k = f'(x_0),\] тогда \(k = 3\).
Ответ: 3
Число \(c\in\mathbb{R}\) такое, что график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются. Найдите ординату точки касания.
Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда
\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! f(x_0) = g(x_0) = y_0\\ &\!\!\! f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases} \end{aligned}\]
Тогда график функции \(y = x^2 + c\) и прямая \(y = x\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда
\[\begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! {x_0}^2 + c = x_0 = y_0\\ &\!\!\! 2x_0 = 1\, \end{cases} \end{aligned} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{aligned} \begin{cases} &\!\!\! 0,25 + c = 0,5 = y_0\\ &\!\!\! x_0 = 0,5\,, \end{cases} \end{aligned}\]
то есть ответ: \(0,5\).
Ответ: 0,5
Прямая, заданная уравнением \(y = kx + 2\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) + k = 5\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной, то есть
\[f'(x_0) = k.\]
Значит, так как \(f'(x_0) + k = 5\), то \(2\cdot f'(x_0) = 5\), откуда \(f'(x_0) = 2,5\).
Ответ: 2,5
Прямая, заданная уравнением \(y = -kx + 11\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) - k = -1\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).
Таким образом, \(f'(x_0) = -k\). Так как \(f'(x_0) - k = -1\), то \(2\cdot f'(x_0) = f'(x_0) - k = -1\), откуда \(f'(x_0) = -0,5\).
Ответ: -0,5
Прямая, заданная уравнением \(y = 2kx - k\) , касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(f'(x_0) + k = 12\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).
Таким образом, \(f'(x_0) = 2k\), тогда \(k = 0,5f'(x_0)\). Так как \(f'(x_0) + k = 12\), то \(1,5\cdot f'(x_0) = f'(x_0) + k = 12\), откуда \(f'(x_0) = 8\).
Ответ: 8
Прямая, заданная уравнением \(y = kx - k\pi\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(k\), если \(f'(x_0) = -k\).
Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).
Таким образом, \[k = f'(x_0),\] но по условию \(f'(x_0) = -k\), откуда находим \(k = f'(x_0) = 0\).
Ответ: 0
