Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 3)

Если \(y=kx+b\) — уравнение касательной к кривой \(f(x)\), то

 

\[{\large{k=f'(x_o),}}\] где \(x_o\) — абсцисса точки касания прямой и кривой.

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что уравнение прямой, касающейся графика функции \(y = 4x^3 + 6x^2 - x - 1\), имеет вид \(y = -x + c\). Найдите \(|c|\).

Добавить задание в избранное

Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; y_0)\) имеет вид: \(y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)\), откуда следует, что \(y'(x_0) = -1\), то есть \[12x_0^2 + 12x_0 - 1 = -1\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x_0 = 0\\ x_0 = -1 \end{gathered} \right.\]

При \(x_0 = 0\) уравнение касательной будет \(y = -x - 1\). При \(x_0 = -1\) уравнение касательной будет \(y = -x + 1\). Тогда подходят \(c = -1\) и \(c = 1\), но в любом случае \(|c| = 1\).

Ответ: 1

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите ординату точки касания графика функции \(y = \sin^2 x\) и прямой \(y = x + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\).

Добавить задание в избранное

Если указанные графики касаются в точке \((x_0; y_0)\), то производные соответствующих функций равны в точке \(x_0\):

\[2\sin x_0\cdot \cos x_0 = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin 2x_0 = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x_0 = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\]

При этом необходимо, чтобы при \(x = x_0\) значения соответствующих функций совпадали:

\[\sin^2 x_0 = x_0 + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\,,\]

но при \(x_0 = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\) имеем: \(\sin^2 x_0 = 0,5\), тогда \[0,5 = x_0 + 0,5 - \dfrac{\pi}{4}\,,\] куда подходит только \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\).

Таким образом, для касания указанных графиков в точке \((x_0; y_0)\) необходимо, чтобы было выполнено \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\). Но этого и достаточно, ведь при \(x_0 = \dfrac{\pi}{4}\) совпадают значения функций и их производных.

В итоге, \[y_0 = \sin^2 x_0 = 0,5\]

Ответ: 0,5

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = -3kx + 7\), касается графика функции \(g(x) = 2 f(x) + 5\) в точке \((x_0; g(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(g'(x_0) + k = 3\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(g(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; g(x_0))\).

Таким образом, \(-3k = g'(x_0),\) но по условию \(g'(x_0) + k = 3\), откуда находим \(g'(x_0) = 4,5\).

 

Так как \(g(x) = 2 f(x) + 5\), то \(g'(x_0) = 2f'(x_0)\), тогда \(f'(x_0) = 2,25\).

Ответ: 2,25

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Говорят, что две кривые касаются в точке \((x; y)\), если они обе через неё проходят и имеют в этой точке общую касательную. Найдите абсциссу точки касания графиков функций \(y = \dfrac{x^4}{4} + \pi x^2 + \dfrac{1}{3}\) и \(y = \dfrac{x^3}{3} + \pi x^2 + \dfrac{1}{4}\).

Добавить задание в избранное

Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) касаются в точке \((x_0; y_0)\) тогда и только тогда, когда

\[\begin{aligned} \begin{cases} y_0 = f(x_0) = g(x_0)\\ f'(x_0) = g'(x_0)\,, \end{cases} \end{aligned}\]

таким образом, для касания данных графиков в точке с абсциссой \(x\) необходимо и достаточно выполнение условия

\[\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{x^4}{4} + \pi x^2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{x^3}{3} + \pi x^2 + \dfrac{1}{4}\\ x^3 + 2\pi x = x^2 + 2\pi x\,. \end{cases} \end{aligned}\]

Из второго уравнения последней системы находим, что \(x = 0\) или \(x = 1\), тогда, подставляя эти значения в первое уравнение, находим, что \(x = 0\) не подходит, а \(x = 1\) – подходит. Таким образом, \(1\) – абсцисса точки касания данных графиков.

Ответ: 1

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Прямая, заданная уравнением \(y = 0,5kx + k\), касается графика функции \(g(x) = \sin (f(x)) - 2\) в точке \((x_0; g(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\), если \(g'(x_0) - 1,5k = 2\), \(f(x_0) = 2\pi\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(g(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; g(x_0))\).

Таким образом, \(0,5k = g'(x_0),\) но по условию \(g'(x_0) - 1,5k = 2\), откуда находим \(g'(x_0) = -1\).

 

Так как \(g(x) = \sin (f(x)) - 2\), то \(g'(x) = (\sin (f(x)) - 2)' = (\sin (f(x)))' = \cos(f(x))\cdot f'(x)\), откуда \(g'(x_0) = \cos(f(x_0))\cdot f'(x_0)\).

 

Тогда с учётом \(f(x_0) = 2\pi\) получим \(f'(x_0) = g'(x_0) = -1\).

Ответ: -1

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Нормалью к графику функции в точке \(x_0\) называется прямая, проходящая через точку \((x_0;f(x_0))\) перпендикулярно касательной, проведенной к графику данной функции в точке \(x_0\).
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \[f(x)=x^2+2x+4\] будет параллельна нормали, проведенной к графику \(f(x)\) в точке \(x_0=-1,125\).

Добавить задание в избранное

Пусть к графику \(f(x)\) в точке \(x_0=-1,125=-\frac98\) проведена касательная. Тогда уравнение касательной имеет вид \(y=f'(-1,125)x+a\), где \(a\) – некоторое число. Так как угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых в произведении дают \(-1\), то уравнение нормали в точке \(x_0\) будет иметь вид \(y=-\frac1{f'(-1,125)}x+b\).
Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то уравнение касательной, параллельной этой нормали, в точке \(x_1\) будет иметь вид: \(y=f'(x_1)x+c=-\frac1{f'(-1,125)}x+c\). Следовательно, \[f'(x_1)=-\frac1{f'(-1,125)} \quad\Rightarrow\quad 2x_1+2=-\dfrac1{-2\cdot \frac98+2} \quad\Rightarrow\quad x_1=1.\]

Ответ: 1