Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания (страница 5)

Так как на рисунке изображен график самой функции, то условие задачи нужно свести к функции.
Если касательная параллельна прямой \(y=3\), то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой \(y=3\), то есть \(0\). Следовательно, \(y_k=a\), где \(a\) – некоторое число.
Если \(y_k\) – касательная к графику \(f(x)\), то ее угловой коэффициент равен \(f'(x_0)\), где \(x_0\) – абсцисса точки касания (количество таких точек нам и нужно найти).
Следовательно, \(f'(x_0)=0\).
Но производная функции равна 0 в точках экстремума, следовательно, раз у нас нарисован график самой функции, то нам нужно найти количество точек экстремума (максимума и минимума).



Таких точек у нас 7.

Ответ: 7

Если \(y_k=kx+b\) – касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), то выполняется следующее: \[\begin{cases} k=f'(x_0)\\ y_k(x_0)=f(x_0) \end{cases}\]Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему: \(f'(x)=36x+a\) \[\begin{cases} 9=36x_0+a\\ 9x_0+5=18x_0^2+ax_0+7 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} a=9-36x_0\\ 18x_0^2=2 \end{cases}\] Из этой системы \(x_0=\pm \frac13\). Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то \(x_0=-\frac13\). Отсюда \(a=9-36\cdot \left(-\frac13\right)=21\).

Ответ: 21

Если \(y_k=kx+b\) – касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), то выполняется следующее: \[\begin{cases} k=f'(x_0)\\ y_k(x_0)=f(x_0) \end{cases}\]Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему: \(f'(x)=6x-3\) \[\begin{cases} 3=6x_0-3\\ 3x_0+4=3x_0^2-3x_0+d\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x_0=1\\ d=-3x_0^2+6x_0+4\end{cases}\]Таким образом, \(d=-3+6+4=7\).

Ответ: 7

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно свести условие задачи к какому-то условию на производную.
Если касательная \(y_k\) параллельна прямой \(y=-1\), то их угловые коэффициенты равны. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен \(0\): \(y_k=a\), где \(a\) – некоторое число.
Если \(y_k\) – касательная к графику \(f(x)\), то ее угловой коэффициент равен \(f'(x_0)\), где \(x_0\) – абсцисса точки касания (количество этих точек нам и нужно найти).
Следовательно, \(f'(x_0)=0\).
Итак, мы свели условие задачи к производной.
Как найти \(x_0\), если мы знаем, что \(f'(x_0)=0\)? Это значит, что нам нужно найти точку на графике \(f'(x)\), у которой ордината равна \(0\):



Таких точек 7.

Ответ: 7