Математика
Русский язык

7. Взаимосвязь функции и ее производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Значение производной в точке касания как тангенс угла наклона (страница 2)

Если к кривой \(f(x)\) проведена касательная в точке с абсциссой \(x_0\), то

\[{\large{\color{royalblue}{f'(x_0)=\mathrm{tg}\, \alpha\, }}},\]

 

где \(\alpha\) – угол наклона касательной.

 

Значит, верна формула: \(f'(x_0)=\mathrm{tg}\, \alpha=k\).



Заметим, что координаты точки \(A\) тогда можно записать как \( \ (x_0; f(x_0)) \ \) или \( \ (x_0; y_0) \ \),
где \( \ y_0=kx_0+b\).
То есть \( \ y_0=f(x_0)\).

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(0\). Найдите косинус угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

 

Обозначим угол наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) через \(\alpha\). Так как \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), то \(\sin \alpha = 0\), откуда при помощи основного тригонометрического тождества находим, что \(\cos \alpha = \pm 1\).

 

Так как \(\alpha\) – угол между двумя прямыми, то \(0^{\circ} \leq \alpha < 180^{\circ}\), тогда \(\cos \alpha\) не может быть равен \(-1\), следовательно, \(\cos \alpha = 1\).

Ответ: 1

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(\dfrac{1}{\sqrt{15}}\). Найдите синус угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Добавить задание в избранное

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Обозначим угол наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) через \(\alpha\), тогда \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\), причём \(0^{\circ} \leq \alpha < 180^{\circ}\).

 

Из основного тригонометрического тождества с учётом \(0^{\circ} \leq \alpha < 180^{\circ}\) получим: \(\dfrac{1}{\sqrt{15}} = \mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\)

 

(тут \(\cos \alpha > 0\) так как при \(0^{\circ} \leq \alpha < 180^{\circ}\) \(\sin \alpha \geq 0\) и получается, что левая часть равенства положительна, числитель правой части неотрицателен, тогда знаменатель правой части положителен).

 

Решая уравнение \(\dfrac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = \dfrac{1}{\sqrt{15}}\), находим \(\sin \alpha = \pm 0,25\), но так как \(0^{\circ} \leq \alpha < 180^{\circ}\), то \(\sin \alpha = 0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot e^{x^2}\) в точке с абсциссой \(x = \sqrt{\ln 2}\).

Добавить задание в избранное

Тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке с абсциссой \(x\) равен \(f'(x)\). \[y' = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot 2x\cdot e^{x^2}\,,\] тогда при \(x = \sqrt{\ln 2}\) имеем: \[y'(\sqrt{\ln 2}) = 2(\ln 2)^{-0,5}\cdot 2\sqrt{\ln 2}\cdot e^{\ln 2} = 8\,.\]

Ответ: 8

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Какой наибольший угол может составлять касательная к графику функции \(y = 2\sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) с графиком функции \(y = 0\)? Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Обозначим угол между касательной к графику функции \(y = 2\sin \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\) в точке с абсциссой \(x_0\) и прямой \(y = 0\) через \(\alpha(x_0)\), а угол наклона касательной к графику этой же функции в той же точке через \(\beta(x_0)\). Тогда \(\alpha(x_0) = \) меньшему из углов \(\beta(x_0)\) и \(180^\circ - \beta(x_0)\), следовательно,

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\\ &\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(180^\circ - \beta(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0)) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Но \(\alpha(x_0)\in[0; 90^\circ]\), тогда \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\geqslant 0\) и чем больше \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\), тем больше \(\alpha(x_0)\).

Так как \(f'(x_0)\) – тангенс угла наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\), то \[\mathrm{tg}\,(\beta(x_0)) = y'(x_0) = \sqrt{3}\cdot \cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x_0\right)\]

Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = \mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) равно \(\sqrt{3}\). Если \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0)) = -\mathrm{tg}\,(\beta(x_0))\), то наибольшее значение \(\mathrm{tg}\,(\alpha(x_0))\) тоже равно \(\sqrt{3}\). Тогда наибольшее значение \(\alpha\) равно \(\mathrm{arctg}\, \sqrt{3}\).

Таким образом, искомый ответ: \(60^\circ\).

Ответ: 60