Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи из ЕГЭ прошлых лет. Задачи на теорию чисел (страница 2)

Задание 8 #3265
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на \(4\) или \(8\). Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется \(2786\).

 

а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\)?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на \(8\)?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(8\), может быть на доске?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\), то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\), то есть последняя цифра должна быть равна \(0\), что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.

 

б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\), начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294\). Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\). Следовательно, их сумма равна \[\dfrac{4+294}2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\). И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\). Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\), ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\))? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\), и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\). То есть нужно убрать \(294, \ 284, \ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\). Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin{aligned} &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end{aligned}\] Следовательно, ответ: нет.

 

в) Назовем числа, оканчивающиеся на \(4\), “числа Ч”, а оканчивающиеся на \(8\) – “числа В”.
Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу \(2786\).
Уберем еще \(254\) и добавим \(48\). Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на \(206\): \(3446-206=3240\). Уберем еще два числа Ч \(244\) и \(234\) и добавим \(58\) и \(68\), тогда сумма равна \(3240-186-166=2888\). Итак, это наименьшая возможная сумма, если среди написанных чисел будет 7 чисел В.
Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\). Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна \(0\), то после 8-ми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа \(\overline{\dots0}-8\cdot 6=\overline{\dots2}\). По условию сумма должна быть равна \(2786\), следовательно, 8 чисел В на доске быть не может.
А вот для 9-ти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна \(6\)!

Докажем, что 9 – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.
Сейчас мы имеем 7 чисел В: \(8, \ 18, \ 28, \ 38, \ 48, \ 58, \ 68\)
и 23 числа Ч: \(4, \ 14, \ 24, \ \dots, 214, \ 224\).
Их сумма равна \(2888\).
Нам нужно получить сумму \(2786\), то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на \(102\). Как говорилось ранее, “каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\)”. Представим \(102=46+56\).
Уберем первый раз число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на \(46\), а потом второй раз так, чтобы сумма уменьшилась на \(56\).
Пример: убираем \(124\) и добавляем \(78\); убираем \(144\) и добавляем \(88\).
Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 9 чисел В и доказали, что меньше 9-ти не может быть, чтд.

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 9

Задание 9 #3266
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Каждый из \(28\) студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\) включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил \(15\). Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).

 

а) Приведите пример, когда \(S<15\).

б) Могло ли значение \(S\) быть равным \(5\)?

в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные писали только \(10\) студентов?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.
Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & a_1 & a_1\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 28 & a_{18} & a_{18}\\ \hline\\ \end{array}\] где “\(-\)” значит, что человек не писал контрольную.
Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за I контрольную (или за II контрольную) было равно \(15\), нужно, чтобы \[\dfrac{a_1+\dots+a_{18}+5\cdot 0}{23}=15\quad\Rightarrow\quad a_1+\dots+a_{18}=15\cdot 23\] То есть найти такие 18 чисел, сумма которых равна \(15\cdot 23\). Возьмем 15 чисел, равных \(20\), и 3 числа, равных \(15\): \(15\cdot 20+3\cdot 15=15\cdot 23\). То есть будет такая таблица: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & 20 & 20\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 25 & 20 & 20\\ \hline 26 & 15 & 15\\ \hline 27 & 15 & 15\\ \hline 28 & 15 & 15\\ \hline\\ \end{array}\] Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно: \[\dfrac{15\cdot 20+3\cdot 15+10\cdot 0}{28}<15\] (мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28!)

 

б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\), то есть \[\dfrac M{28}=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfrac{\Sigma}x=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\).
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\), и в \(\Sigma\). Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\), но не будет участвовать в \(\Sigma\). Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\), часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\), а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.

 

в) Пусть \(a\) – сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, \(b\) – кто писал только вторую контрольную, \(M\) – сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, \(m\) – сумма минимальных баллов среди этих 10-ти.
Тогда \[\dfrac{a+b+M}{28}=S\] Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно \(15\) (только вот количество ВСЕХ оценок уже равно \(28+10\)). Следовательно, \[\dfrac{a+b+M+m}{28+10}=15\quad\Rightarrow\quad a+b+M=15\cdot 38-m\] Тогда \[S=\dfrac{15\cdot 38-m}{28}\] Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную – 20 баллов, то \(M\leqslant 20\cdot 10\). Следовательно, \(m\leqslant M\leqslant 20\cdot 10\). Тогда: \[S\geqslant \dfrac{15\cdot 38-20\cdot 10}{28}=\dfrac{185}{14}\] Приведем пример для \(S=\frac{185}{14}\). Из получения оценки следует, что \(m=M=10\cdot 20\), то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда \(a+b=28S-M=170\). Если взять \(a=b=85\), то количество \(x\) студентов, писавших только первую контрольную, ищется: \[\dfrac{200+85}{10+x}=15\quad\Rightarrow\quad x=9\] Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.
То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от \(0\) до \(20\), которые в сумме дают \(85\). Есть: \(5+10+10+10+10+10+10+10+10=85\).

Ответ:

а) пример

б) нет

в) \(\frac{185}{14}\)

Задание 10 #3231
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в 3 раза.

 

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел, сумма которых равна 47?

 

б) Может ли на доске быть написано 10 чисел, сумма которых равна 94?

 

в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно 8000?

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

Добавить задание в избранное

а) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4, \ a_5\). Приведем пример. Пусть \(a_1=6\), \(a_5=17\). Тогда \(a_2+a_3+a_4=24\). Следовательно, можно взять \(a_2=7, \ a_3=8, \ a_4=9\).
Ответ: да.

 

б) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, ..., \ a_{10}\). Тогда \(a_i\leqslant 3a_1\), \(i=2;3;...; 10\). Предположим, что сумма может быть равна \(94\). Тогда \[a_1+a_2+a_3+...+a_{10}=94\leqslant a_1+9\cdot 3a_1=28a_1\] откуда \(a_1\geqslant 4\).
Так как все числа натуральные и различные, то при \(a_1=4\) наибольшее возможное значение \(a_{10}\) – это \(12\). Но тогда между \(4\) и \(12\) не умещается 8 различных чисел.
\((*)\) При \(a=5\) наименьшая сумма достигается, если числа равны \[5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11; \ 12; \ 13; \ 14,\] и равна \(0,5(5+14)\cdot 10=95>94\).
Заметим, что при увеличении \(a_1\) будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, таких чисел не существует и ответ: нет.

 

Приведем другое доказательство пункта б):
Так как можно сказать, что \(a_{10}=3a_1-\alpha\), где \(\alpha\) – некоторое неотрицательное целое число, то количество натуральных чисел, находящихся между \(a_{10}\) и \(a_1\), будет равно \(2a_1-1-\alpha\). Так как чисел между \(a_{10}\) и \(a_1\) должно быть 8, то \(2a_1-1-\alpha\geqslant 8\), откуда \(a_1\geqslant 4,5+0,5\alpha\). Следовательно, \(a_1\geqslant 5\).
Далее можно привести то же рассуждение \((*)\).

 

в) Заметим, что \(8000=2^6\cdot 5^3\). Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид \(2^x\cdot 5^y\) (\(x, y\geqslant 0\) – натуральные).
Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести: \(a_1=2^6=64\) и \(a_2=5^3=125\).
Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел: \(a_1=2^4=16\), \(a_2=2^2\cdot 5=20\), \(a_3=5^2=25\).
Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует. Докажем, что на доске не может быть написано 4 числа и более.
Пусть \(a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n\), \(n\geqslant 4\).
Рассмотрим два случая.

 

1) Пусть какое-то \(a_i\) содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на \(25\): \(a_i=25\cdot k\) (\(k\geqslant 1\)). Тогда оставшиеся числа (их не менее трех) \(\geqslant \frac{25}3\cdot k\geqslant 9\). Тогда произведение всех чисел \(\geqslant 9\cdot 9\cdot 9\cdot 25=18225\), что больше \(8000\). Получили противоречие, следовательно, такого числа среди написанных на доске быть не может.

 

Приведем другое объяснение невозможности существования такого числа.
Если такое число есть, то оно \(\geqslant 25\). Но тогда произведение всех оставшихся чисел \(\leqslant 320\). Но тогда среди оставшихся чисел есть число \(<7\), так как, если бы все они были \(\geqslant 7\), то их произведение было бы \(\geqslant 7\cdot 7\cdot 7=343\) (так как оставшихся чисел как минимум три). Но \(7\cdot 3<25\), что противоречит условию о том, что любые два числа отличаются не более чем в 3 раза.

 

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку. Рассмотрим три числа \(a_i\), \(a_j\) и \(a_m\), имеющие в разложении одну пятерку: \(a_i=5k, a_j=5l, a_m=5p\), где \(k,l,p\) – степени двойки. Упорядочим их по возрастанию: пусть \(a_i\) – наименьшее среди них, \(a_m\) – наибольшее. Тогда \(l\geqslant 2k\), а \(p\geqslant 2l\), следовательно, \(p\geqslant 4k\), что невозможно (тогда \(a_m\) более чем в 4 раза больше \(a_i\)). Чтд.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 2 или 3

Задание 11 #2973
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем известно, что произведение любых двух из них больше \(40\), но меньше \(100\).

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел?
б) Может ли на доске быть написано 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их количество равно 4?

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5\). Тогда произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\). Пусть \(a_1=6\), \(a_2=7\) (тогда \(a_1\cdot a_2=42>40\)). Произведение двух наибольших \(a_4\cdot a_5<100\). Пусть \(a_4=9\), \(a_5=10\). Следовательно, осталось подобрать еще одно число \(a_3\), причем оно должно быть больше \(7\), но меньше \(9\). Возьмем, например, \(8\). Таким образом, мы получили 5 чисел: \[6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10.\]

б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6\). Тогда произведение двух наибольших \(a_5\cdot a_6<100\). Отсюда можно сделать вывод, что \(a_5\leqslant 9\) (так как если \(a_5\geqslant 10\), то \(a_6\geqslant 11\) и их произведение \(\geqslant 110\)).
Произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\), следовательно, \(a_2\geqslant 7\) (так как если \(a_2\leqslant 6\), то \(a_1\leqslant 5\), следовательно, их произведение \(\leqslant 30\)). Таким образом, на отрезке \([7;9]\) должны быть расположены четыре натуральных числа \(a_2;a_3;a_4;a_5\), что невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.

 

в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4\). Аналогично предыдущему пункту, можно сделать вывод, что \(a_2\geqslant 7\), \(a_3\leqslant 9\). Следовательно, \(a_2\) и \(a_3\) могут принимать значения \(7,8\) или \(9\).

 

1. Пусть \(a_2=7, a_3=8\). Тогда \(a_1\) может быть равно только \(6\), потому что иначе произведение \(a_1\cdot a_2\) будет меньше \(40\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(12\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+8+12=33\).

 

2. Пусть \(a_2=7, a_3=9\). Аналогично \(a_1=6\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+9+11=33\).

 

3. Пусть \(a_2=8, a_3=9\). Тогда максимальное значение для \(a_1\) – это \(7\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(7+8+9+11=35\).

 

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна \(35\).

Ответ:


а) да
б) нет
в) 35

Задание 12 #2336
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Добавить задание в избранное

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\).

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(2970 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac{2970}{3} = 990\), что равносильно \(10\cdot B + A = 990\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 990 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 1980\), откуда \(A = 220 + B\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 70\), тогда \(A = 290\).

Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 290 – так можно положить \[a_1 = ... = a_{32} = 9,\quad a_{33} = 290 - 32\cdot 9 = 2,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = ... = b_{32} = 2,\quad b_{33} = 70 - 32\cdot 2 = 6.\]

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac{2970}{5} = 594\), что равносильно \(10\cdot B + A = 594\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 594 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2376\), откуда \(A = 264 + B\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 30\), тогда \(A = 294\).

Так как \(B = 30\), а все \(b_i\geqslant 1\), то слагаемых в сумме не более 30, но тогда \(A\leqslant 30\cdot 9 = 270\), следовательно, при \(B = 30\) не может быть выполнено \(A = 294\).

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2970 - S\), откуда \[A = 330 - \dfrac{S}{9} + B.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[B = \dfrac{10\cdot S}{99} - 30,\] откуда в частности следует, что \(S\) делится на \(99\).

Понятно, что \(B > 30\) (так как все \(b_i\geqslant 1\), то при не более чем \(30\) слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт \(30\cdot 90 + 30 = 30\cdot 91 < 2970\)). Тогда \[\dfrac{10\cdot S}{99} - 30 > 30,\] откуда \(S > 594\), но \(S\) делится на \(99\), тогда \(S\geqslant 693\).

При \(S = 693\) получим \(B = 40\), откуда \(A = 293\).

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 293 – так можно положить \[a_1 = ... = a_{32} = 9,\quad a_{33} = 293 - 32\cdot 9 = 5,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = ... = b_{32} = 1,\quad b_{33} = 40 - 32\cdot 1 = 8,\] итого, искомая сумма \(32\times 91 + 58\).

Ответ:

а) \(32\times 92 + 26\), где запись \(32\times 92\) означает сумму из 32 слагаемых, каждое из которых равно 92.

б) Нет.

в) \(693\).

Задание 13 #2337
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Добавить задание в избранное

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(363 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 4 = 1452\), что равносильно \(10\cdot B + A = 1452\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 1452 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 1089\), откуда \(B = 121 + A\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(A = 22\), тогда \(B = 143\).

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 143 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{15} = 9,\quad b_{16} = 143 - 15\cdot 9 = 8,\] то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{15} = 1,\quad a_{16} = 22 - 15\cdot 1 = 7.\]

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 2 = 726\), что равносильно \(10\cdot B + A = 726\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 726 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 363\), но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \[9\cdot B - 9\cdot A = S - 363,\] откуда \[B = \dfrac{S}{9} - \dfrac{121}{3} + A.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[A = \dfrac{110}{3} - \dfrac{S}{99},\] откуда в частности следует, что \[\dfrac{S}{99} = s + \dfrac{2}{3},\] то есть \(S = 99s + 66\) для некоторого целого неотрицательного \(s\), тогда \(A = 36 - s\), \(B = 10s + 3\).

Покажем, что \(B < 173\):
в самом деле, если бы было \(B\geqslant 173\), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем \(20\) (так как \(19\cdot 9 < 173\)), но тогда \[10\cdot A + B \geqslant 200 + 173 > 363.\]

Так как \(B < 173\), то \(10s + 3 < 173\), то есть \(s\leqslant 16\). При \(s = 16\) получим \(A = 20\), \(B = 163\).

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 163 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{18} = 9,\quad b_{19} = 163 - 18\cdot 9 = 1\], то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{18} = 1\quad a_{19} = 20 - 18\cdot 1 = 2,\] итого, искомая сумма \(18\times 19 + 21\), максимальная \(S = 99\cdot 16 + 66 = 1650\).

Ответ:

а) \(15\times 19 + 78\), где запись \(15\times 19\) означает сумму из 15 слагаемых, каждое из которых равно 19.

б) Нет.

в) \(1650\).

Задание 14 #2338
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Последовательность \(a_1, a_2, ..., a_n\) \((n\geqslant 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при \(n = 8\)?

Добавить задание в избранное

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых 60:
\(12, 12, 12, 12, 12\). Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1: \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Заметим, что если \[a_i > \dfrac{a_{i-1} + a_{i + 1}}{2},\] то и \[(a_i + 1) > \dfrac{(a_{i-1} + 1) + (a_{i+1} + 1)}{2},\] и \[(a_i - 1) > \dfrac{(a_{i-1} - 1) + (a_{i+1} - 1)}{2}.\]

Изменим условие задачи, разрешив \(a_i\) быть равными \(0\).

Решение исходной задачи получается из решения изменённой: в самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности \(b_1, ..., b_8\), то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\) (если бы это было не так и была бы последовательность \(c_1, ..., c_8\), подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\), то последовательность \(c_1 - 1, ..., c_8 - 1\) подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была бы меньше, чем у \(b_1, ..., b_8\)).

Ясно, что для того, чтобы каждое из \(a_2, ..., a_7\) было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед. Отсюда следует, что среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0.

Пусть на последовательности \(a_1, ..., a_8\) достигается минимум суммы.

Покажем, что \(a_1 = 0 = a_8\). Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой – противоречие.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 1 (иначе у 1 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 1\), то \(a_3\) должно быть меньше 2, но среди \(a_3, ..., a_6\) нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 1.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 1, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 2 (иначе у 2 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 2\), то \(a_3\) должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2, тогда \(a_3 = 3\), но тогда \(a_4\) не может быть 4 или больше, следовательно \(a_4 = 3\), но тогда \(a_5 < 3\), чего быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 2.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 2, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 3 (иначе у 3 не будет меньшего соседа).

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у \(a_3\) и \(a_6\). Пусть \(a_3 = 4\), тогда \(a_4 < 5\), то есть \(a_4 = 4\), но тогда \(a_5 < 4\), чего быть не может. Для \(a_6\) аналогично.

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть больше двух пятёрок (иначе среди \(a_4\) и \(a_5\) была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может).

Итак, искомая последовательность \[0, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 0,\] сумма её членов равна 28. Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие: \[1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1,\] её сумма равна 36.

Ответ:

а) \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Да.

в) \(36\).

1 2 3 4