Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи из ЕГЭ прошлых лет. Задачи на теорию чисел (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в 3 раза.

 

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел, сумма которых равна 47?

 

б) Может ли на доске быть написано 10 чисел, сумма которых равна 94?

 

в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно 8000?

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

Добавить задание в избранное

а) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4, \ a_5\). Приведем пример. Пусть \(a_1=6\), \(a_5=17\). Тогда \(a_2+a_3+a_4=24\). Следовательно, можно взять \(a_2=7, \ a_3=8, \ a_4=9\).
Ответ: да.

 

б) Упорядочим числа в порядке возрастания: \(a_1, \ a_2, \ a_3, ..., \ a_{10}\). Тогда \(a_i\leqslant 3a_1\), \(i=2;3;...; 10\). Предположим, что сумма может быть равна \(94\). Тогда \[a_1+a_2+a_3+...+a_{10}=94\leqslant a_1+9\cdot 3a_1=28a_1\] откуда \(a_1\geqslant 4\).
Так как все числа натуральные и различные, то при \(a_1=4\) наибольшее возможное значение \(a_{10}\) – это \(12\). Но тогда между \(4\) и \(12\) не умещается 8 различных чисел.
\((*)\) При \(a=5\) наименьшая сумма достигается, если числа равны \[5; \ 6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10; \ 11; \ 12; \ 13; \ 14,\] и равна \(0,5(5+14)\cdot 10=95>94\).
Заметим, что при увеличении \(a_1\) будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, таких чисел не существует и ответ: нет.

 

Приведем другое доказательство пункта б):
Так как можно сказать, что \(a_{10}=3a_1-\alpha\), где \(\alpha\) – некоторое неотрицательное целое число, то количество натуральных чисел, находящихся между \(a_{10}\) и \(a_1\), будет равно \(2a_1-1-\alpha\). Так как чисел между \(a_{10}\) и \(a_1\) должно быть 8, то \(2a_1-1-\alpha\geqslant 8\), откуда \(a_1\geqslant 4,5+0,5\alpha\). Следовательно, \(a_1\geqslant 5\).
Далее можно привести то же рассуждение \((*)\).

 

в) Заметим, что \(8000=2^6\cdot 5^3\). Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид \(2^x\cdot 5^y\) (\(x, y\geqslant 0\) – натуральные).
Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести: \(a_1=2^6=64\) и \(a_2=5^3=125\).
Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел: \(a_1=2^4=16\), \(a_2=2^2\cdot 5=20\), \(a_3=5^2=25\).
Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует. Докажем, что на доске не может быть написано 4 числа и более.
Пусть \(a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n\), \(n\geqslant 4\).
Рассмотрим два случая.

 

1) Пусть какое-то \(a_i\) содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на \(25\): \(a_i=25\cdot k\) (\(k\geqslant 1\)). Тогда оставшиеся числа (их не менее трех) \(\geqslant \frac{25}3\cdot k\geqslant 9\). Тогда произведение всех чисел \(\geqslant 9\cdot 9\cdot 9\cdot 25=18225\), что больше \(8000\). Получили противоречие, следовательно, такого числа среди написанных на доске быть не может.

 

Приведем другое объяснение невозможности существования такого числа.
Если такое число есть, то оно \(\geqslant 25\). Но тогда произведение всех оставшихся чисел \(\leqslant 320\). Но тогда среди оставшихся чисел есть число \(<7\), так как, если бы все они были \(\geqslant 7\), то их произведение было бы \(\geqslant 7\cdot 7\cdot 7=343\) (так как оставшихся чисел как минимум три). Но \(7\cdot 3<25\), что противоречит условию о том, что любые два числа отличаются не более чем в 3 раза.

 

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку. Рассмотрим три числа \(a_i\), \(a_j\) и \(a_m\), имеющие в разложении одну пятерку: \(a_i=5k, a_j=5l, a_m=5p\), где \(k,l,p\) – степени двойки. Упорядочим их по возрастанию: пусть \(a_i\) – наименьшее среди них, \(a_m\) – наибольшее. Тогда \(l\geqslant 2k\), а \(p\geqslant 2l\), следовательно, \(p\geqslant 4k\), что невозможно (тогда \(a_m\) более чем в 4 раза больше \(a_i\)). Чтд.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 2 или 3

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем известно, что произведение любых двух из них больше \(40\), но меньше \(100\).

а) Может ли на доске быть написано 5 чисел?
б) Может ли на доске быть написано 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их количество равно 4?

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5\). Тогда произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\). Пусть \(a_1=6\), \(a_2=7\) (тогда \(a_1\cdot a_2=42>40\)). Произведение двух наибольших \(a_4\cdot a_5<100\). Пусть \(a_4=9\), \(a_5=10\). Следовательно, осталось подобрать еще одно число \(a_3\), причем оно должно быть больше \(7\), но меньше \(9\). Возьмем, например, \(8\). Таким образом, мы получили 5 чисел: \[6; \ 7; \ 8; \ 9; \ 10.\]

б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4; a_5; a_6\). Тогда произведение двух наибольших \(a_5\cdot a_6<100\). Отсюда можно сделать вывод, что \(a_5\leqslant 9\) (так как если \(a_5\geqslant 10\), то \(a_6\geqslant 11\) и их произведение \(\geqslant 110\)).
Произведение двух наименьших \(a_1\cdot a_2>40\), следовательно, \(a_2\geqslant 7\) (так как если \(a_2\leqslant 6\), то \(a_1\leqslant 5\), следовательно, их произведение \(\leqslant 30\)). Таким образом, на отрезке \([7;9]\) должны быть расположены четыре натуральных числа \(a_2;a_3;a_4;a_5\), что невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.

 

в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания: \(a_1; a_2; a_3; a_4\). Аналогично предыдущему пункту, можно сделать вывод, что \(a_2\geqslant 7\), \(a_3\leqslant 9\). Следовательно, \(a_2\) и \(a_3\) могут принимать значения \(7,8\) или \(9\).

 

1. Пусть \(a_2=7, a_3=8\). Тогда \(a_1\) может быть равно только \(6\), потому что иначе произведение \(a_1\cdot a_2\) будет меньше \(40\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(12\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+8+12=33\).

 

2. Пусть \(a_2=7, a_3=9\). Аналогично \(a_1=6\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(6+7+9+11=33\).

 

3. Пусть \(a_2=8, a_3=9\). Тогда максимальное значение для \(a_1\) – это \(7\). Максимальное значение для \(a_4\) – это \(11\). Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел \(7+8+9+11=35\).

 

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна \(35\).

Ответ:


а) да
б) нет
в) 35

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Добавить задание в избранное

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\).

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(2970 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac{2970}{3} = 990\), что равносильно \(10\cdot B + A = 990\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 990 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 1980\), откуда \(A = 220 + B\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 70\), тогда \(A = 290\).

Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 290 – так можно положить \[a_1 = ... = a_{32} = 9,\quad a_{33} = 290 - 32\cdot 9 = 2,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = ... = b_{32} = 2,\quad b_{33} = 70 - 32\cdot 2 = 6.\]

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(\dfrac{2970}{5} = 594\), что равносильно \(10\cdot B + A = 594\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = 594 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2376\), откуда \(A = 264 + B\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(B = 30\), тогда \(A = 294\).

Так как \(B = 30\), а все \(b_i\geqslant 1\), то слагаемых в сумме не более 30, но тогда \(A\leqslant 30\cdot 9 = 270\), следовательно, при \(B = 30\) не может быть выполнено \(A = 294\).

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 2970\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из первого уравнения второе, находим, что \(9\cdot A - 9\cdot B = 2970 - S\), откуда \[A = 330 - \dfrac{S}{9} + B.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[B = \dfrac{10\cdot S}{99} - 30,\] откуда в частности следует, что \(S\) делится на \(99\).

Понятно, что \(B > 30\) (так как все \(b_i\geqslant 1\), то при не более чем \(30\) слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт \(30\cdot 90 + 30 = 30\cdot 91 < 2970\)). Тогда \[\dfrac{10\cdot S}{99} - 30 > 30,\] откуда \(S > 594\), но \(S\) делится на \(99\), тогда \(S\geqslant 693\).

При \(S = 693\) получим \(B = 40\), откуда \(A = 293\).

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(a_i\) 9, пока их сумма не превосходит 293 – так можно положить \[a_1 = ... = a_{32} = 9,\quad a_{33} = 293 - 32\cdot 9 = 5,\] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить \[b_1 = ... = b_{32} = 1,\quad b_{33} = 40 - 32\cdot 1 = 8,\] итого, искомая сумма \(32\times 91 + 58\).

Ответ:

а) \(32\times 92 + 26\), где запись \(32\times 92\) означает сумму из 32 слагаемых, каждое из которых равно 92.

б) Нет.

в) \(693\).

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Добавить задание в избранное

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(363 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 4 = 1452\), что равносильно \(10\cdot B + A = 1452\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 1452 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 1089\), откуда \(B = 121 + A\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(A = 22\), тогда \(B = 143\).

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 143 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{15} = 9,\quad b_{16} = 143 - 15\cdot 9 = 8,\] то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{15} = 1,\quad a_{16} = 22 - 15\cdot 1 = 7.\]

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 2 = 726\), что равносильно \(10\cdot B + A = 726\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 726 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 363\), но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \[9\cdot B - 9\cdot A = S - 363,\] откуда \[B = \dfrac{S}{9} - \dfrac{121}{3} + A.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[A = \dfrac{110}{3} - \dfrac{S}{99},\] откуда в частности следует, что \[\dfrac{S}{99} = s + \dfrac{2}{3},\] то есть \(S = 99s + 66\) для некоторого целого неотрицательного \(s\), тогда \(A = 36 - s\), \(B = 10s + 3\).

Покажем, что \(B < 173\):
в самом деле, если бы было \(B\geqslant 173\), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем \(20\) (так как \(19\cdot 9 < 173\)), но тогда \[10\cdot A + B \geqslant 200 + 173 > 363.\]

Так как \(B < 173\), то \(10s + 3 < 173\), то есть \(s\leqslant 16\). При \(s = 16\) получим \(A = 20\), \(B = 163\).

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 163 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{18} = 9,\quad b_{19} = 163 - 18\cdot 9 = 1\], то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{18} = 1\quad a_{19} = 20 - 18\cdot 1 = 2,\] итого, искомая сумма \(18\times 19 + 21\), максимальная \(S = 99\cdot 16 + 66 = 1650\).

Ответ:

а) \(15\times 19 + 78\), где запись \(15\times 19\) означает сумму из 15 слагаемых, каждое из которых равно 19.

б) Нет.

в) \(1650\).

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Последовательность \(a_1, a_2, ..., a_n\) \((n\geqslant 3)\) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при \(n = 8\)?

Добавить задание в избранное

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых 60:
\(12, 12, 12, 12, 12\). Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1: \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Заметим, что если \[a_i > \dfrac{a_{i-1} + a_{i + 1}}{2},\] то и \[(a_i + 1) > \dfrac{(a_{i-1} + 1) + (a_{i+1} + 1)}{2},\] и \[(a_i - 1) > \dfrac{(a_{i-1} - 1) + (a_{i+1} - 1)}{2}.\]

Изменим условие задачи, разрешив \(a_i\) быть равными \(0\).

Решение исходной задачи получается из решения изменённой: в самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности \(b_1, ..., b_8\), то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\) (если бы это было не так и была бы последовательность \(c_1, ..., c_8\), подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\), то последовательность \(c_1 - 1, ..., c_8 - 1\) подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была бы меньше, чем у \(b_1, ..., b_8\)).

Ясно, что для того, чтобы каждое из \(a_2, ..., a_7\) было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед. Отсюда следует, что среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0.

Пусть на последовательности \(a_1, ..., a_8\) достигается минимум суммы.

Покажем, что \(a_1 = 0 = a_8\). Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой – противоречие.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 1 (иначе у 1 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 1\), то \(a_3\) должно быть меньше 2, но среди \(a_3, ..., a_6\) нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 1.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 1, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 2 (иначе у 2 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 2\), то \(a_3\) должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2, тогда \(a_3 = 3\), но тогда \(a_4\) не может быть 4 или больше, следовательно \(a_4 = 3\), но тогда \(a_5 < 3\), чего быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 2.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 2, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 3 (иначе у 3 не будет меньшего соседа).

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у \(a_3\) и \(a_6\). Пусть \(a_3 = 4\), тогда \(a_4 < 5\), то есть \(a_4 = 4\), но тогда \(a_5 < 4\), чего быть не может. Для \(a_6\) аналогично.

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть больше двух пятёрок (иначе среди \(a_4\) и \(a_5\) была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может).

Итак, искомая последовательность \[0, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 0,\] сумма её членов равна 28. Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие: \[1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1,\] её сумма равна 36.

Ответ:

а) \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Да.

в) \(36\).

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написаны числа \(1, 2, 3, ..., 30\). За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Добавить задание в избранное

а) Один из возможных вариантов: \((1; 3; 30), (2; 4; 27), (5; 7; 20), (6; 8; 17), (9; 11; 10)\).

б) Сделать 10 ходов – значит стереть все числа. Покажем, что все числа стереть нельзя: если число 30 будет стёрто, то обязательно в одной тройке с числом 1 и одним из чисел 2 или 3.

Тогда если будет стёрто и число 29, то обязательно в одной тройке с оставшимся после первого хода из чисел 2 и 3, но третьим числом в тройку к 29 должно быть число не меньше 4, а это значит, что сумма чисел в тройке с 29 слишком велика: \(29 + 4 + \)(\(2\) или \(3\)) \(\geqslant 35\), что противоречит условию.

в) Пусть можно стереть \(k\) троек, тогда сумма всех чисел этих \(k\) троек должна не превосходить \[34 + (34 - 1) + ... + (34 - (k - 1)) = 34k - 1 - ... - (k - 1) = 34k - \dfrac{k(k - 1)}{2}.\] Так как нужно стереть \(3k\) чисел, то наименьшая возможная сумма всех чисел \(k\) троек равна \[1 + ... + 3k = \dfrac{3k(3k+1)}{2},\] откуда получаем неравенство \[\dfrac{3k(3k + 1)}{2}\leqslant 34k - \dfrac{k(k - 1)}{2},\] что равносильно \(k^2 \leqslant 6,6k\), откуда с учётом \(k\in\mathbb{N}\) получаем, \(k\leqslant 6\), то есть стереть больше \(6\) троек нельзя. Пример для 6 троек:
\((5; 11; 17), (1; 12; 18), (4; 10; 16), (3; 9; 15), (6; 7; 13), (2; 8; 14)\).

Ответ:

а) \((1; 3; 30), (2; 4; 27), (5; 7; 20), (6; 8; 17), (9; 11; 10)\).

б) Нет.

в) \(6\).

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество \(\{100; 101; 102; ...; 199\}\) хорошим?

б) Является ли множество \(\{2; 4; 8; ...; 2^{200}\}\) хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества \(\{3; 4; 5; 6; 8; 10; 12\}\)?

Добавить задание в избранное

а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами: \(\{100; 199\}, \{101; 198\}, ..., \{149; 150\}\).

Так как количество таких пар 50 (важно, что оно чётно), то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество взять содержащим все остальные числа.

б) Данное множество не является хорошим, так как \(2^{200}\) больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы \[1 + 2 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1.\] Покажем по индукции, что эта формула верна.

1) При \(n = 1\) имеем: \(1 = 2^1 - 1\) – верно.

2) Пусть теперь формула верна для \(n = m\), покажем, что тогда она верна и для \(n = m + 1\): \[1 + 2 + ... + 2^{(m + 1) - 1} = 1 + 2 + ... + 2^{m - 1} + 2^m.\] По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна \(2^m - 1\), тогда вся сумма равна \[2^m - 1 + 2^m = 2\cdot 2^m - 1 = 2^{m + 1} - 1,\] что и требовалось. Ну а сумма \[2 + 4 + 8 + ... + 2^{199} = -1 + 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{199} = -1 + 2^{200} - 1 = 2^{200} - 2 < 2^{200}.\]

в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться либо равенство вида \[a + b + c = d,\] либо равенство вида \[a + b = c + d.\]

Равенство \(a + b + c = d\) может быть выполнено только в случае \(3 + 4 + 5 = 12\) (сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества). Рассмотрим теперь случай равенства вида \(a + b = c + d\).

В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.

Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие \(3\) и \(5\). Так как \(3 + 5 = 8\), что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида \(a + b = c + d\) они должны стоять по разные стороны от знака равенства: \[a + 3 = c + 5\qquad\Rightarrow\qquad a - c = 2,\] то есть на роль пары чисел \((a; c)\) подходят пары \((12; 10), (10; 8), (8; 6), (6; 4)\) – всего 4 пары, следовательно, в случае равенства вида \(a + b = c + d\) есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих \(3\) и \(5\).

Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие ни \(3\), ни \(5\). Они, таким образом, являются подмножествами множества \[\{4; 6; 8; 10; 12\},\] но в нём всего 5 элементов, то есть искомое его подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве \(\{4; 6; 8; 10; 12\}\) все элементы чётные, то в равенстве вида \(a + b = c + d\) слева и справа должны стоять чётные числа, тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.

Следовательно, нельзя удалять из множества \(\{4; 6; 8; 10; 12\}\) 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств \[8 + 10 = 6 + 12,\qquad 6 + 10 = 4 + 12,\qquad 4 + 10 = 6 + 8.\] Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие \(3\) и \(5\).

Итого: у исходного множества есть ровно \(1 + 4 + 3 = 8\) хороших четырёхэлементных подмножеств.

Ответ:

а) Да.

б) Нет.

в) \(8\).

1 2 3