При каких значениях параметра \(a\) значение выражения \(\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi\), где \(x_1\), \(x_2\) – корни уравнения \[-4a^4x + 12 a^2x + x^2 - 11x + 8a = 0\] будет наибольшим?
\[\begin{aligned} &-4a^4x + 12 a^2x + x^2 - 11x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - (4a^4 - 12a^2 + 11)x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 - \bigl((2a^2 - 3)^2 + 2\bigr)x + 8a = 0. \end{aligned}\]
По теореме Виета (если у данного уравнения есть корни) \[x_1 + x_2 = (2a^2 - 3)^2 + 2.\]
Данное выражение положительно при любом \(a\), следовательно, \[\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi = -\sqrt{e}\cdot(x_1 + x_2)^3 - \pi < 0\] – при любом \(a\), тогда значение выражения \(\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi\) максимально при тех же \(a\), при которых минимально значение выражения \(x_1 + x_2\).
Значение выражения \(x_1 + x_2\) будет наименьшим при \(a^2 = \dfrac{3}{2}\), то есть при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).
Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x + 8\sqrt{\dfrac{3}{2}}= 0.\] Так как дискриминант \(D = 4 - 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x - 8\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 4 + 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).
Ответ:
\(-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)