Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение корней квадратного трехчлена (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Известно, что многочлен \(P(x)\) имеет вид: \(P(x) = ax^2 + bx + c\).

а) Доктор Ватсон узнал числа \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(-1)\). Может ли он однозначно восстановить \(P(x)\)?

б) Джим Мориарти знает числа \(P(0)\), \(P(1)\), \(P(2)\). Он собирается восстановить \(P(x)\). Какой ответ он должен получить?

в) Шерлок Холмс утверждает, что если и можно восстановить \(P(x)\), зная только числа \(P(n - 1)\), \(P(n)\), \(P(n + 1)\) для какого-то целого \(n\), то он находится однозначно. Прав ли он?

Добавить задание в избранное

Для того, чтобы найти \(P(x)\), необходимо и достаточно найти числа \(a\), \(b\), \(c\). Попробуем найти их.

а)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(-1) = a - b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[\dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = a + c = a + P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} - P(0)\,,\] откуда \[P(1) = a + b + c = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} + b\qquad\Rightarrow\qquad b = \dfrac{P(1) - P(-1)}{2}\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят.

б)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(2) = 4a + 2b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[P(2) - 2P(1) = 2a - c = 2a - P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = 0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)\,,\] таким образом, \[b = P(1) - a - c = P(1) - (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)) - P(0) = -1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2)\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят, следовательно, \[P(x) = (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\,.\]

в) Покажем, что Шерлок Холмс прав:

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(n - 1) = a(n - 1)^2 + b(n - 1) + c\\ &P(n) = an^2 + bn + c\\ &P(n + 1) = a(n + 1)^2 + b(n + 1) + c\,, \end{cases} \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} = a\cdot\dfrac{(n - 1)^2 + (n + 1)^2}{2} + bn + c = a(n^2 + 1) + bn + c = P(n) + a\,, \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} a = \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} - P(n)\,. \end{aligned}\]

Рассмотрим разность \(P(n + 1) - P(n)\):

\[\begin{aligned} P(n + 1) - P(n) = a(2n + 1) + b\qquad\Rightarrow\qquad b = P(n + 1) - P(n) - a(2n + 1)\,, \end{aligned}\]

но число \(a\) нам уже известно, тогда отсюда находим \(b\). Кроме того, имеем: \[P(n) = an^2 + bn + c\qquad\Rightarrow\qquad c = P(n) - an^2 - bn\,,\] но \(a\) и \(b\) нам известны, следовательно, находим \(c\).

Таким образом, искомые числа \(a\), \(b\) и \(c\), если они существуют, находятся однозначно.

Ответ:

а) Да

б) \((0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\)

в) Да

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан квадратичный трехчлен \(ax^2+bx+c\), коэффициенты \(a, b, c\) которого образуют непостоянную арифметическую прогрессию.

 

а) Может ли данный квадратичный трехчлен иметь ровно один вещественный корень?

б) Найдите все различные приведенные квадратичные трехчлены \(ax^2+bx+c\), имеющие один вещественный корень, если таковые имеются.

в) Пусть \(ax^2+bx+c\) имеет два различных вещественных корня. Найдите наименьшее значение суммы квадратов этих корней, если известно, что \(\dfrac cb\leqslant 0\).

Добавить задание в избранное

а) Рассмотрим уравнение \(ax^2+bx+c=0\) и найдем его дискриминант: \[D=b^2-4ac\] Так как \(a, b, c\) образуют арифметическую прогрессию, то можно сказать, что \(a=b-d\), \(c=b+d\), где \(d\) – разность арифметической прогрессии. Тогда \[D=b^2-4(b-d)(b+d)=4d^2-3b^2\] Если уравнение имеет один корень, то \(D=0\): \[4d^2-3b^2=0 \quad\Rightarrow\quad 2d=\pm \sqrt3b\] Следовательно, ответ: может. Например, если взять \(b=2\), \(d=\sqrt3\): \[(2-\sqrt3)x^2+2x+2+\sqrt3=0\]

б) Из пункта а) следует, что \[b=\pm \dfrac{2}{\sqrt3}d\]

1) \(b=\dfrac{2}{\sqrt3}d\). Тогда уравнение выглядит так: \[\begin{aligned} &\left(\dfrac2{\sqrt3}d-d\right)x^2+\dfrac2{\sqrt3}dx+ \left(\dfrac2{\sqrt3}d+d\right)=0 \ \Big|\cdot \dfrac{\sqrt3}{(2-\sqrt3)d} \quad\Rightarrow \\[2ex] &\Rightarrow \quad x^2+\dfrac2{2-\sqrt3}x+\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2(2+\sqrt3)x+(2+\sqrt3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x+2+\sqrt3)^2=0 \end{aligned}\] Следовательно, первый трехчлен имеет вид \((x+2+\sqrt3)^2\).

 

2) \(b=-\dfrac2{\sqrt3}d\). Тогда уравнение выглядит так: \[\begin{aligned} &\left(-\dfrac2{\sqrt3}d-d\right)x^2-\dfrac2{\sqrt3}dx+ \left(-\dfrac2{\sqrt3}d+d\right)=0 \ \Big|\cdot \dfrac{\sqrt3}{(-2-\sqrt3)d} \quad\Rightarrow \\[2ex] &\Rightarrow \quad x^2+2(2-\sqrt3)x+(2-\sqrt3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x+2-\sqrt3)^2=0 \end{aligned}\] Следовательно, второй трехчлен имеет вид \((x+2-\sqrt3)^2\).
Таким образом, всего существует два приведенных трехчлена, удовлетворяющих заданным условиям.
В обоих случаях мы имеем право делить на \(d\), так как по условию прогрессия непостоянная, следовательно, разность не равна нулю.

 

в) Пусть \((b-d)x^2+bx+(b+d)=0\) имеет два корня, то есть \[D=4d^2-3b^2>0\] Пусть \(x_1\), \(x_2\) – корни. Тогда \(x_1+x_2=-\dfrac b{b-d}\), \(x_1\cdot x_2=\dfrac{b+d}{b-d}\).
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\dfrac b{b-d}\right)^2-2\cdot \dfrac{b+d}{b-d}=\dfrac{2d^2-b^2}{(b-d)^2}= \dfrac{2\left(\frac db\right)^2-1}{(\frac db-1)^2}\] Рассмотрим функцию \[f(t)=\dfrac{2t^2-1}{(t-1)^2}\] Ее производная \[f'=\dfrac{2-4t}{(t-1)^3}\] Следовательно, знаки производной:



Следовательно, при \(t\in \left(-\infty;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\) функция убывает, при \(t\in \left(\frac12;1\right)\) функция возрастает.
Из условия \(\dfrac cb\leqslant 0\) следует: \[\dfrac {b+d}b\leqslant 0\quad\Rightarrow\quad 1+\dfrac db\leqslant 0 \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac db\leqslant -1\] Заметим, что при \(\dfrac db\leqslant -1\) выполняется условие, что дискриминант положителен: \(D=4d^2-3b^2>0\).
Таким образом, нужно найти наименьшее значение \(f(t)\) при \(t\leqslant -1\). Так как при \(t\leqslant -1\) функция убывает, то наименьшее значение будет в точке \(t=-1\): \[f(-1)=\dfrac14.\]

Ответ:

а) да

б) \((x+2+\sqrt3)^2\) и \((x+2-\sqrt3)^2\)

в) 0,25