В прямоугольную таблицу \(n\times m\) вписали целые числа (здесь \(n\) – число строк). При этом оказалось, что сумма чисел в каждом столбце попадает на отрезок \([15; 20]\), а сумма чисел в каждой строке попадает на отрезок \([22; 25]\). Какое наименьшее значение могло иметь выражение \(\dfrac{n}{m}\)?
Пусть \(a_i\) – сумма чисел в \(i\)-ой строке (\(i\) пробегает натуральные значения от \(1\) до \(n\)). Пусть \(b_j\) – сумма чисел в \(j\)-ом столбце (\(j\) пробегает натуральные значения от \(1\) до \(m\)). Пусть также \(S\) – сумма всех чисел таблицы.
Тогда, учитывая тот факт, что слагаемые в сумме можно складывать в любом порядке, получим: \[a_1 + ... + a_n = S = b_1 + ... + b_m\,.\]
Из последнего равенства получаем следующие оценки: \[\begin{cases} 22n\leqslant S\leqslant 25n\\ 15m\leqslant S\leqslant 20m \end{cases}\,,\] откуда следует, что существуют \(p\in[22; 25]\) и \(q\in[15; 20]\) такие, что \[p\cdot n = S = q\cdot m \qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{n}{m} = \dfrac{q}{p}\geqslant \dfrac{15}{25} = 0,6\,.\]
Пример для \(\dfrac{n}{m} = 0,6\) может быть таким: \(n = 3\), \(m = 5\), все числа в таблице равны \(5\):
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
Ответ: 0,6
