Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Последняя цифра числа (страница 2)

Задание 8 #2200
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вася записал число, равное \(2016!\), в десятичной системе исчисления. Затем он стёр \(500\) последних цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?

Добавить задание в избранное

Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны \(0\) (в произведении \(1\cdot 2\cdot ...\cdot 2016\) есть множители \(10\), \(100\), \(1000\)).

Пусть некоторое число делится на \(10^N\), тогда последние \(N\) цифр в его десятичной записи равны \(0\).

Число делится на \(10^N\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2^N\) и на \(5^N\).

Чисел, которые делятся на \(5\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 5] = 403\) (здесь \([a]\) – целая часть \(a\)).
Чисел, которые делятся на \(5^2 = 25\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 25] = 80\).
Чисел, которые делятся на \(5^3 = 125\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 125] = 16\).
Чисел, которые делятся на \(5^4 = 625\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 625] = 3\).
При \(n\geq 5\) чисел, которые делятся на \(5^n\) и не превосходят \(2016\) нет.

Таким образом, в разложение числа \(2016!\) на простые множители число \(5\) входит в степени \(403 + 80 + 16 + 3 = 502\).

Чисел, которые делятся на \(2\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 2] = 1008 > 502\).

 

Тогда \(2016!\) делится на \(10^{502}\), следовательно, последние \(502\) цифры этого числа равны \(0\). Таким образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на \(0\).

Ответ:

\(0\)

Задание 9 #2201
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все натуральные \(n\) такие, что к десятичной записи числа \(n(n + 2)\) справа можно дописать две цифры так, что полученное число будет квадратом некоторого натурального числа.

Добавить задание в избранное

\[n(n + 2) = n^2 + 2n.\] Дописывание к десятичной записи числа цифр \(a\) и \(b\) эквивалентно умножению исходного числа на \(100\) и прибавлению к нему \(10a + b\):\[100(n^2 + 2n) + 10a + b = 100(n^2 + 2n + 1) - 100 + 10a + b = (10n + 10)^2 - 100 + 10a + b.\] По условию полученное число должно быть равно \(N^2\) для некоторого натурального \(N\), тогда:

\[\begin{aligned} &(10n + 10)^2 - 100 + 10a + b = N^2\qquad\Leftrightarrow\qquad(10n + 10)^2 - N^2 = 100 - 10a - b\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad(10n + 10 - N)(10n + 10 + N) = 100 - (10a + b) \end{aligned}\]

Обозначим \(100 - (10a + b) = c\), \(1 \leqslant c\leqslant 100\) – натуральное.

Тогда для того, чтобы \(n\) подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального \(N\) и некоторого натурального \(1 \leqslant c\leqslant 100\) было выполнено \[(10n + 10 - N)(10n + 10 + N) = c.\]

Первый множитель \((10n + 10 - N)\) – натуральное число, так как оно целое и его произведение с натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит \(100\), то \(10n + 10 + N\leqslant 100\).

Так как \(N^2\geqslant 300\) (\(N^2\geqslant n(n + 2)\cdot 100\geqslant 300\)) и \(N\in\mathbb{N}\), то \(N\geqslant 18\), тогда \[28\leqslant 10n + 10 + N\leqslant 100.\] Таким образом, имеет смысл проверить только \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

Для \(n\in\{1, 2, 3, 4\}\) достаточно положить \(N = 10n + 9\), \(c = (10n + 10 + N)\).

Легко проверить, что при \(n = 5\): \[(60 - N)(60 + N) = c\] – не может быть выполнено при \(1 \leqslant c\leqslant 100\), \(N, c\in\mathbb{N}\).

Для \(n = 6\) и \(n = 7\) – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для \(n\in\{1, 2, 3, 4\}\).

Ответ:

\(1\), \(2\), \(3\), \(4\)