Вася записал число, равное \(2016!\), в десятичной системе исчисления. Затем он стёр \(500\) последних цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?
Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны \(0\) (в произведении \(1\cdot 2\cdot ...\cdot 2016\) есть множители \(10\), \(100\), \(1000\)).
Пусть некоторое число делится на \(10^N\), тогда последние \(N\) цифр в его десятичной записи равны \(0\).
Число делится на \(10^N\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2^N\) и на \(5^N\).
Чисел, которые делятся на \(5\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 5] = 403\) (здесь \([a]\) – целая часть \(a\)).
Чисел, которые делятся на \(5^2 = 25\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 25] = 80\).
Чисел, которые делятся на \(5^3 = 125\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 125] = 16\).
Чисел, которые делятся на \(5^4 = 625\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 625] = 3\).
При \(n\geq 5\) чисел, которые делятся на \(5^n\) и не превосходят \(2016\) нет.
Таким образом, в разложение числа \(2016!\) на простые множители число \(5\) входит в степени \(403 + 80 + 16 + 3 = 502\).
Чисел, которые делятся на \(2\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 2] = 1008 > 502\).
Тогда \(2016!\) делится на \(10^{502}\), следовательно, последние \(502\) цифры этого числа равны \(0\). Таким образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на \(0\).
Ответ:
\(0\)