Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Последняя цифра числа (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вася записал число, равное \(2016!\), в десятичной системе исчисления. Затем он стёр \(500\) последних цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?

Добавить задание в избранное

Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны \(0\) (в произведении \(1\cdot 2\cdot ...\cdot 2016\) есть множители \(10\), \(100\), \(1000\)).

Пусть некоторое число делится на \(10^N\), тогда последние \(N\) цифр в его десятичной записи равны \(0\).

Число делится на \(10^N\) тогда и только тогда, когда оно делится на \(2^N\) и на \(5^N\).

Чисел, которые делятся на \(5\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 5] = 403\) (здесь \([a]\) – целая часть \(a\)).
Чисел, которые делятся на \(5^2 = 25\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 25] = 80\).
Чисел, которые делятся на \(5^3 = 125\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 125] = 16\).
Чисел, которые делятся на \(5^4 = 625\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 625] = 3\).
При \(n\geq 5\) чисел, которые делятся на \(5^n\) и не превосходят \(2016\) нет.

Таким образом, в разложение числа \(2016!\) на простые множители число \(5\) входит в степени \(403 + 80 + 16 + 3 = 502\).

Чисел, которые делятся на \(2\) и не превосходят \(2016\), ровно \([2016 : 2] = 1008 > 502\).

 

Тогда \(2016!\) делится на \(10^{502}\), следовательно, последние \(502\) цифры этого числа равны \(0\). Таким образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на \(0\).

Ответ:

\(0\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все натуральные \(n\) такие, что к десятичной записи числа \(n(n + 2)\) справа можно дописать две цифры так, что полученное число будет квадратом некоторого натурального числа.

Добавить задание в избранное

\[n(n + 2) = n^2 + 2n.\] Дописывание к десятичной записи числа цифр \(a\) и \(b\) эквивалентно умножению исходного числа на \(100\) и прибавлению к нему \(10a + b\):\[100(n^2 + 2n) + 10a + b = 100(n^2 + 2n + 1) - 100 + 10a + b = (10n + 10)^2 - 100 + 10a + b.\] По условию полученное число должно быть равно \(N^2\) для некоторого натурального \(N\), тогда:

\[\begin{aligned} &(10n + 10)^2 - 100 + 10a + b = N^2\qquad\Leftrightarrow\qquad(10n + 10)^2 - N^2 = 100 - 10a - b\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad(10n + 10 - N)(10n + 10 + N) = 100 - (10a + b) \end{aligned}\]

Обозначим \(100 - (10a + b) = c\), \(1 \leqslant c\leqslant 100\) – натуральное.

Тогда для того, чтобы \(n\) подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального \(N\) и некоторого натурального \(1 \leqslant c\leqslant 100\) было выполнено \[(10n + 10 - N)(10n + 10 + N) = c.\]

Первый множитель \((10n + 10 - N)\) – натуральное число, так как оно целое и его произведение с натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит \(100\), то \(10n + 10 + N\leqslant 100\).

Так как \(N^2\geqslant 300\) (\(N^2\geqslant n(n + 2)\cdot 100\geqslant 300\)) и \(N\in\mathbb{N}\), то \(N\geqslant 18\), тогда \[28\leqslant 10n + 10 + N\leqslant 100.\] Таким образом, имеет смысл проверить только \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

Для \(n\in\{1, 2, 3, 4\}\) достаточно положить \(N = 10n + 9\), \(c = (10n + 10 + N)\).

Легко проверить, что при \(n = 5\): \[(60 - N)(60 + N) = c\] – не может быть выполнено при \(1 \leqslant c\leqslant 100\), \(N, c\in\mathbb{N}\).

Для \(n = 6\) и \(n = 7\) – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для \(n\in\{1, 2, 3, 4\}\).

Ответ:

\(1\), \(2\), \(3\), \(4\)