Стороны \(KN\) и \(LM\) трапеции \(KLMN\) параллельны, прямые \(LM\) и \(MN\) – касательные к окружности, описанной около треугольника \(KLN\).
а) Докажите, что треугольники \(LMN\) и \(KLN\) подобны.
б) Найдите площадь треугольника \(KLN\), если известно, что \(KN = 6\), а \(\angle LMN = 120^\circ\).
а) Пусть \(O\) – центр окружности, описанной около \(\triangle KLN\). Так как \(LM\) – касательная к окружности, проходящей через точку \(L\), то \(LM\perp OL\), следовательно, \(OL\perp KN\). Опустим из точки \(O\) на \(KN\) перпендикуляр \(OP\).
Так как центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения его серединных перпендикуляров, то \(P\) – середина \(KN\).
Точки \(P\), \(O\) и \(L\) лежат на одной прямой: в самом деле, \(LO\perp KN\perp OP\), тогда прямые, содержащие \(LO\) и \(OP\) либо параллельны, либо совпадают, но они проходят через общую точку \(O\).
Таким образом, \(L\) лежит на серединном перпендикуляре к \(KN\), следовательно, \(L\) равноудалена от концов отрезка \(KN\) и треугольник \(KLN\) – равнобедренный (\(KL = LN\)). Кроме того, \(\angle KLO = \angle OLN\).
Аналогично, \(ON\perp MN\). Так как сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), то \(\angle LON + \angle LMN = 180^\circ\), причём \[\angle LON = 180^\circ - \angle OLN - \angle ONL = 180^\circ - 2\angle OLN = 180^\circ - \angle KLN,\] откуда следует, что \(\angle LMN = \angle KLN\).
Кроме того, \(\angle LNK = \angle NLM\) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(KN\), \(LM\) и секущей \(LN\). В итоге, два угла треугольника \(LMN\) соответственно равны двум углам треугольника \(KLN\), следовательно, они подобны.
Замечание. Формально в рамках пункта а) треугольник \(KLN\) может быть и остроугольным, а на рисунке он тупоугольный, однако, все рассуждения, приведённые выше, будут справедливы и для случая остроугольного треугольника \(KLN\).
б) \(\angle KLN = \angle LMN = 120^\circ\), тогда \(\angle LKN = \angle LNK = 30^\circ\). \[LP = KP\cdot \mathrm{tg}\ \! 30^\circ = 3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.\] В итоге \[S_{\triangle KLN} = \dfrac{1}{2}\cdot KN\cdot LP = 3\cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}.\]
Ответ:
б) \(3\sqrt{3}\)