На стороне \(MN\) треугольника \(MNP\) отметили точки \(Q\), \(R\) и \(S\) так, что \(\angle MPQ = \angle QPR = \angle RPS = \angle SPN\).
а) Докажите, что если \(S_{\triangle NPR} = S_{\triangle RPM}\), то \(S_{\triangle PRS}\neq S_{\triangle NPS}\).
б) Найдите \(\dfrac{PS}{QP}\), если \(MP = a\), \(NP = b\), \(RP = c\).
а) Так как у треугольников \(NPR\) и \(RPM\) общая высота к основаниям \(NR\) и \(RM\) соответственно, то их площади относятся как их основания, то есть из \(S_{\triangle NPR} = S_{\triangle RPM}\) следует равенство \(NR = RM\).
Тогда \(PR\) – медиана в треугольнике \(MNP\), которая является биссектрисой, откуда \(MP = NP\) и \(PR\) – высота.
Аналогично из равенства \(S_{\triangle PRS}\) и \(S_{\triangle NPS}\) следовало бы, что \(RP = NP\), но \(RP\perp MN\), а \(NP\) не совпадает с \(RP\), следовательно, \(NP > RP\) и \(S_{\triangle PRS}\neq S_{\triangle NPS}\).
б)
Первый способ.
Обозначим \(\angle SPN = \alpha\), тогда \[S_{\triangle PNR} = 0,5\cdot bc\cdot\sin 2\alpha.\]
С другой стороны, \[S_{\triangle PNR} = S_{\triangle PNS} + S_{\triangle PSR} = 0,5\cdot b\cdot SP\cdot\sin\alpha + 0,5\cdot c\cdot SP\cdot\sin\alpha,\] тогда
\(0,5\cdot bc\cdot\sin 2\alpha=0,5\cdot b\cdot SP\cdot\sin\alpha + 0,5\cdot c\cdot SP\cdot\sin\alpha \quad \Leftrightarrow \quad 0,5\cdot 2\cos\alpha\sin\alpha\cdot bc = 0,5\sin\alpha\cdot SP(b+c)\quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\quad 2\cos\alpha\cdot bc=SP(b+c) \quad
\Leftrightarrow \quad SP = \dfrac{2bc\cdot\cos\alpha}{b + c}.\)
так как \(a + c \ne 0\).
На самом деле здесь мы не ограничивая общности (т.е. к произвольному треугольнику можно применить те же рассуждения) выразили биссектрису треугольника через половину угла, из которого она выходит, и через стороны, заключающие этот угол.
Тогда аналогично \(PQ = \dfrac{2ac\cdot\cos\alpha}{a + c}\), откуда \[\dfrac{PS}{QP} = \dfrac{2bc\cdot\cos\alpha}{b + c}:\dfrac{2ac\cdot\cos\alpha}{a + c} = \dfrac{b(a + c)}{a(b + c)}.\]
Второй способ.
По свойству биссектрисы \(PS\) треугольника \(NPR\): \[\dfrac{PN}{PR}=\dfrac{NS}{RS}=\dfrac bc\] Следовательно, можно обозначить \(NS=b\cdot t\), \(RS=c\cdot t\), где \(t\) – некоторый коэффициент.
Аналогично для \(\triangle MPR\): \[\dfrac{MP}{RP}=\dfrac{MQ}{RQ}=\dfrac{a}{c}\] Следовательно, \(MQ=a\cdot k, RQ=c\cdot k\).
Теперь по этому же свойству для \(\triangle SPQ\) и биссектрисы \(PR\) имеем: \[\dfrac{PS}{PQ}=\dfrac{c\cdot t}{c\cdot k}=\dfrac tk\] Следовательно, необходимо найти отношение \(t:k\).
По этому же свойству для \(\triangle NPM\) и биссектрисы \(PR\): \[\dfrac{NP}{MP}=\dfrac{NR}{MR} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac ba=\dfrac{(b+c)\cdot t}{(a+c)\cdot k} \quad \Rightarrow \quad \dfrac tk=\dfrac{b(a+c)}{a(b+c)}=\dfrac{PS}{PQ}.\]
Ответ:
б) \(\dfrac{b(a + c)}{a(b + c)}\)