Окружность касается стороны \(BC=15\) и продолжений сторон \(AB=AC=8,5\) треугольника \(ABC\). Найдите радиус этой окружности.
Заметим, что треугольник \(ABC\) равнобедренный. Т.к. центр окружности равноудален от сторон угла \(A\), то он лежит на биссектрисе этого угла (то есть \(AO\) – биссектриса \(\angle A\)). Т.к. треугольник равнобедренный, то биссектриса \(AO\) является также медианой и высотой, следовательно, т.к. \(OM\perp BC\) (\(M\) – точка касания), то точка \(M\) лежит на отрезке \(AO\).
\(\triangle ACM\sim \triangle ANO\) по двум углам. Следовательно,
\[\dfrac{CM}{ON}=\dfrac{AC}{AO} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\frac{15}2}r=\dfrac{8,5}{AM+r}\]
Таким образом, для того, чтобы найти \(r\), нужно сначала найти \(AM\).
По теореме Пифагора из \(\triangle AMC\): \(AM^2=AC^2-MC^2=8,5^2-7,5^2=16\), следовательно, \(AM=4\). Значит:
\[\dfrac{\frac{15}2}{r}=\dfrac{8,5}{4+r} \quad \Rightarrow \quad r=30.\]
Ответ: 30