\(ABCDEF\) – выпуклый шестиугольник, про который известно, что \(\angle A > 120^\circ\), \(\angle B\leqslant 70^\circ\), \(\angle C \geqslant 130^\circ\), \(\angle E \geqslant 110^\circ\).
а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) нельзя описать окружность.
б) Найдите периметр \(ABCDEF\), если \(AB + CD + EF = 11\) и в \(ABCDEF\) можно вписать окружность.
а) Если около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).
Если около четырёхугольника \(ACDE\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).
Если около четырёхугольника \(ACDF\) можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника \(ACD\).
Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) окружности должны совпасть, следовательно, тогда шестиугольник \(ABCDEF\) также будет вписанным.
Таким образом, достаточно показать, что около \(ABCDEF\) нельзя описать окружность.
Пусть шестиугольник \(ABCDEF\) – вписанный, тогда
\[\begin{aligned} &\angle A + \angle C + \angle E = 0,5\cdot\smile BCDEF + 0,5\cdot\smile BAFED + 0,5\cdot\smile FABCD =\\ &= 0,5(360^\circ - \smile BAF) + 0,5(360^\circ - \smile BCD) + 0,5(360^\circ - \smile FED) =\\ &= 540^\circ - 0,5(\smile BAF + \smile BCD + \smile FED) = 360^\circ, \end{aligned}\]
но \(\angle A + \angle C + \angle E > 360^\circ\), следовательно, около \(ABCDEF\) нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников \(ABCD\), \(ACDE\) и \(ACDF\) нельзя описать окружность.
б)
Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки \(A\), через \(a\), длины отрезков касательных, проведённых из точки \(B\), через \(b\) и т.д.
\[11 = AB + CD + EF = a + b + c + d + e + f = 0,5\cdot P_{ABCDEF},\] откуда \(P_{ABCDEF} = 22\).
Ответ:
б) \(22\).