Математика
Русский язык

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдена по формуле \[h = \dfrac{{v_0}^2\sin^2{\alpha}}{2g},\] где \(h\) – максимальная высота в метрах, \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом \(45^{\circ}\) к горизонту, чтобы максимальная высота, на которую он поднимется, была равна \(\dfrac{125}{49}\) метра? Ответ дайте в м/с.

Добавить задание в избранное

Так как \(\sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{125}{49} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot 9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 100\) и \(v_0 = \pm 10\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 10\) м/с.

Ответ: 10

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\) м/с, может быть найдено по формуле \[l = \dfrac{{v_0}^2\sin{(2\alpha)}}{g},\] где \(l\) – расстояние в метрах, \(g = 9,8\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения. С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом \(30^{\circ}\) к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было равно \(\dfrac{45\sqrt{3}}{2}\) метра? Ответ дайте в м/с.

Добавить задание в избранное

Так как \(\sin (2\cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{45\sqrt{3}}{2} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 441\) и \(v_0 = \pm 21\). Так как \(v_0 \geq 0\), то \(v_0 = 21\) м/с.

Ответ: 21

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(80\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

Добавить задание в избранное

В состоянии 1 длина стержня стала \(1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[\dfrac{80}{100}\cdot 1,2l_0 = 0,96l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \[\mathcal{E} = \dfrac{0,96l_0 - l_0}{l_0} = -0,04.\]

Ответ: -0,04

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы \(m_1\) кг и \(m_2\) кг, находящимися на расстоянии \(R\) метров, может быть найдена по формуле \[F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2},\] где \(G\) – гравитационная постоянная. Во сколько раз должно увеличиться расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась в 25 раз?

Добавить задание в избранное

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_1\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_1\) м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно \(R_2\), тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет \[\dfrac{1}{25}F_1.\]

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] а для конечных параметров известно, что \[\dfrac{1}{25}F_1 = G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2}.\] Умножая второе уравнение на \(25\), получим \[F_1 = 25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2},\] откуда \[25G\dfrac{m_1m_2}{{R_2}^2} = G\dfrac{m_1m_2}{{R_1}^2},\] откуда \({R_2}^2 = 25{R_1}^2\), что равносильно \(R_2 = \pm 5R_1\), но \(R_1 > 0, R_2 > 0\), тогда \(R_2 = 5R_1\).

Ответ: 5

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле \(F = \rho g h S_{\text{дна}}\), где \(F\) – сила давления в ньютонах, \(\rho\) – плотность жидкости в кг/м\(^3\), \(h\) – высота столба жидкости в метрах, \(S_{\text{дна}}\) – площадь дна в м\(^2\). Во сколько раз увеличится сила давления на дно, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Добавить задание в избранное

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна \(F_1\) Н, высота столба жидкости в начальном сосуда равна \(h_1\) м, а радиус его основания \(r_1\) м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна \(F_2\) Н, тогда высота столба жидкости в конечном сосуде равна \(0,5h_1\), а радиус основания конечного сосуда равен \(5r_1\).

Для начальных параметров известно, что \[F_1 = \rho g h_1\cdot \pi {r_1}^2,\] а для конечных параметров известно, что \[F_2 = \rho g\cdot 0,5h_1\cdot \pi (5r_1)^2 = 12,5 \rho g h_1\cdot \pi{r_1}^2 = 12,5 F_1.\]

Ответ: 12,5

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда \(F_A = \rho g V\), где \(\rho\) – плотность воды в кг/м\(^3\), \(g\) – ускорение свободного падения в м/с\(^2\), \(V\) – объем Игоря в м\(^3\). Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если бы при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Добавить задание в избранное

Пусть до увеличения объем Игоря был \(V_{\text{Игоря}}\) м\(^3\), сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была \(F_{A_{1}}\), тогда
после увеличения объем Игоря стал \(8V_{\text{Игоря}}\) м\(^3\). Сила Архимеда после увеличения объема Игоря стала \[F_{A_{2}} = \rho g\cdot 8V_{\text{Игоря}} = 8\rho g V_{\text{Игоря}} = 8F_{A_{1}}.\]

Ответ: 8

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с \(n\) параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}},\] где \(\mathcal{E}\) – ЭДС каждого источника (в вольтах), \(R = 5,25\) Ом – сопротивление цепи в Омах, \(r = 3\) Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила половину от силы тока короткого замыкания одного источника \(I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}\). Сколько элементов ЭДС в цепи?

Добавить задание в избранное

После подстановки в уравнение \[\dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{r}\] известных значений, получим \[\dfrac{\mathcal{E}}{5,25 + \frac{3}{n}} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{3},\] что равносильно \(\dfrac{1}{5,25 + \frac{3}{n}} = \dfrac{1}{6}\), что равносильно \(5,25 + \dfrac{3}{n} = 6\), откуда находим \(n = 4\).

Ответ: 4

1 2 3 4