Математика
Русский язык

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 3 материальных точек с массами \(m_1 = m_2 = 0,5m_3\) и ускорениями \(a_1 = a_2 = a_3\). Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 3-ей точки в \(4\) раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(m_i\) и \(a_i\) – начальные параметры \(i\)-ой точки, тогда изначально \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + m_3a_3 = 2m_3a_3.\] После увеличения ускорения 3-ей точки в \(4\) раза сила станет \[F = m_1a_1 + m_2a_2 + m_3\cdot 4a_3 = 0,5m_3a_3 + 0,5m_3a_3 + 4m_3a_3 = 5m_3a_3,\] то есть увеличится в \(2,5\) раза.

Ответ: 2,5

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Эсминец “Тихий” плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 33\) узла (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов он выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 66\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите время с момента пуска (в часах), за которое торпеда поразит неподвижную цель, если расстояние от цели до места пуска торпеды равно \(0,6732\) морских миль.

Добавить задание в избранное

Время, за которое торпеда поразит неподвижную цель, можно найти из уравнения \[v_0t+\dfrac{at^2}{2} = 0,6732,\] что при учёте значений для скорости и ускорения равносильно \[33t + 33t^2 = 0,6732 \quad\Leftrightarrow\quad t^2+t-0,0204=0\] Дискриминант уравнения \[D=1+0,0816=1,0816=2^6\cdot 13^2\cdot 10^{-4}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{D}=2^3\cdot 13\cdot 10^{-2}=1,04.\]

У данного квадратного уравнения имеется два корня \(t_1 = 0,02,\ t_2 = -1,02\), но время \(t > 0\), тогда \(t = 0,02\) часа.

Ответ: 0,02

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(N\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 50 - P^2\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(N\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наименьшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) составит \(136\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Добавить задание в избранное

\(R = P\cdot Q = 50P - P^3\). Месячная выручка составит \(136\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из уравнения \[50P - P^3 = 136\qquad\Leftrightarrow\qquad P^3 - 50P + 136 = 0.\] Можно угадать один из корней последнего уравнения: \(P = 4\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((P - 4)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} P^3+0\cdot P^2-50P+136&&\negthickspace\underline{\qquad P-4 \qquad}\\ \underline{P^3-\ \ 4P^2\ } \phantom{00000000000}&&\negthickspace \ \, P^2 +4P - 34\\[-3pt] 4P^2 - 50P\ \phantom{00000}&&\\ \underline{4P^2 - 16P\ }\phantom{00000}&&\\[-3pt] -34P + 136&&\\ \underline{-34P + 136}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \[P^3 - 50P + 136 = (P - 4)(P^2 + 4P - 34).\] Рассмотрим отдельно уравнение \(P^2 + 4P - 34 = 0\). Его корни \(P = -2\pm\sqrt{38}\).

В итоге уравнение \(P^3 - 50P + 136 = 0\) имеет корни \(P_1 = 4, \ P_2 = -2+\sqrt{38}, \ P_3 = -2-\sqrt{38}\). Так как цена \(P > 0\), то \(P_3\) не подходит.

Среди \(P_1\) и \(P_2\) меньшим является \(P_1 = 4\) (так как \(P_2 = \sqrt{38} - 2 > \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4\)).

Итого: наименьшая цена \(P\), при которой месячная выручка \(R\) составит \(136\) тыс. руб., равна \(4\) тыс. руб.

Ответ: 4

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Материальная точка \(P\) движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени \(t\) может быть найдена по формуле \(\vec{v}(t) = (x^2(t) + x(t) + t)\vec{e}_x\), где \(x(t)\) – координата точки \(P\). Известно, что при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону. Найдите \(x(0)\), если известно, что через положение \(x = 0\) точка не проходила.

Добавить задание в избранное

Так как при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону, то в момент \(t = 0\) скорость точки должна быть равной \(0\), откуда \[x^2(0) + x(0) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x(0) = 0\\ x(0) = -1\,, \end{gathered} \right.\] но положение \(x = 0\) точка не проходила, следовательно, ответ: \(x(0) = -1\).

Ответ: -1