Задачи, сводящиеся к решению неравенств (страница 2)

Количество лет, через которое масса изотопа станет не более, чем \(25\) мг, удовлетворяет соотношению \[m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}} = m(t) \leq 25,\] откуда \[100\cdot 2^{-\frac{t}{400}} \leq 25\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leq \dfrac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ 2^{-\frac{t}{400}} \leq 2^{-2}\ \Leftrightarrow\ -\dfrac{t}{400} \leq -2\ \Leftrightarrow\ \dfrac{t}{400} \geq 2,\] откуда \(t \geq 800\), то есть минимум через 800 лет масса изотопа станет не более, чем \(25\) мг.

Ответ: 800

Длина трассы, при которой автомобиль успеет достичь скорости не меньшей, чем \(300\) км/ч, удовлетворяет соотношению \[\sqrt{2l\cdot 7500} = v \geq 300,\] что равносильно \(\sqrt{15000\cdot l} \geq 300\), что с учётом неотрицательности правой части равносильно \(15000~\cdot~l \geq 90000\), что равносильно \(l \geq 6\), тогда наименьшая подходящая длина трассы равна 6 километрам.

Ответ: 6

Количество источников, при котором сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника, удовлетворяет неравенству \[\dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}} \leq \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{r},\] которое с учётом известных данных принимает вид \[\dfrac{\mathcal{E}}{6 + \frac{4}{n}} \leq \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{4},\] что в силу \(\mathcal{E} > 0\) равносильно \[\dfrac{1}{6 + \frac{4}{n}} \leq \dfrac{1}{8} \qquad\Leftrightarrow\qquad 6 + \dfrac{4}{n} \geq 8\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{n} \geq 2,\] откуда \(0< n \leq 2\). Таким образом, наибольшее допустимое число элементов ЭДС равно 2.

Ответ: 2

Пусть \(m_{5_0}\) и \(a_{5_0}\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F_0 = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + m_{5_0}a_{5_0} = 15 + m_{5_0}a_{5_0} = 40,\] откуда \(m_{5_0}a_{5_0} = 25\) Н. При увеличении силы не менее, чем в 3 раза имеем: \[15 + m_{5_0}a_5 = F \geq 3F_0 = 120,\ \Leftrightarrow\ m_{5_0}a_5 \geq 105 = \dfrac{105}{25}\cdot 25 = \dfrac{105}{25}m_{5_0}a_{5_0},\ \Leftrightarrow\ a_5 \geq 4,2\cdot a_{5_0},\] то есть ускорение 5-ой точки надо увеличить минимум в 4,2 раза.

Ответ: 4,2

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \geq 1,4l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{60}{100}\cdot l_1 \geq \dfrac{60}{100}\cdot 1,4l_0 = 0,84l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \geq \dfrac{0,84l_0 - l_0}{l_0} = -0,16,\] следовательно, наименьшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(-0,16\).

Ответ: -0,16

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \leq 1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{90}{100}\cdot l_1 \leq \dfrac{90}{100}\cdot 1,2l_0 = 1,08l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \leq \dfrac{1,08l_0 - l_0}{l_0} = 0,08,\] следовательно, наибольшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(0,08\).

Ответ: 0,08

Моменты \(t\), в которые пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров, удовлетворяют неравенству \[2 + 300t - 5t^2 \geqslant 2502\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 300t + 2500 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 60t + 500\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 60t + 500 = 0\): \[t_1 = 10, \qquad\qquad t_2 = 50\] тогда:



следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени \(t\in[10;50]\), то есть в течение \(50 - 10 = 40\) секунд.

Ответ: 40