Моменты \(t\), в которые кот находился на высоте не менее \(1\) метра пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leq 1 + 8t - 8t^2 \leq 3.\] Решим два неравенства по очереди.
Рассмотрим неравенство \(1 \leq 1 + 8t - 8t^2\). Оно равносильно неравенству \[t^2 - t \leq 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 - t = 0\): \[t_1 = 0,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:
тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1]\).
Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 8t - 8t^2 \leq 3\). Оно равносильно неравенству \[4t^2 -4t + 1 \geq 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(4t^2 -4t + 1 = 0\): \[t = 0,5,\] тогда:
но с учётом того, что \(t \geq 0\) подходят только \(t \geq 0\).
По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент \(t = 0,5\)) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону \(h = 1 + 8t - 8t^2\), следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только \(t\in[0; 0,5]\).
Тогда общее решение двух неравенств: \(t\in [0; 0,5]\), то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение \(0,5 - 0 = 0,5\) секунд.
Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать и до падения его высота менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\).
Моменты \(t\), в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству \(3 - 2t^2 \geq 1\), которое равносильно \[t^2 \leq 1.\] Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения \(3 - 2t^2 = 1\): \[t_1 = -1,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:
так как нас интересуют только \(t \geq 0\), то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее \(1\) метра в моменты \(t\in[0; 1]\), то есть в течение \(1 - 0 = 1\) секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение \(0,5 + 1 + 1 = 2,5\) секунд.
Ответ: 2,5