Математика
Русский язык

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 3)

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Иван вертикально бросил камень вниз с двух башен А и В (с начальными скоростями, равными 0). В результате он обнаружил, что время падения камня с башни А равно 2 секундам, а с башни В – 2,5 секундам. Иван может приближенно рассчитать высоту любой башни по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) – высота этой башни в метрах, \(t\) – время падения с неё камня в секундах. На сколько согласно подсчётам Ивана башня В выше, чем башня А? Ответ дайте в метрах.

Добавить задание в избранное

Первый способ:

Разность высот башен В и А равна \(5\cdot{2,5}^2 - 5\cdot 2^2 = 5\cdot(6,25 - 4) = 5\cdot 2,25 = 11,25\) метров.

Второй способ:

Высота башни В равна \(5\cdot{2,5}^2 = 5\cdot 6,25 = 31,25\) метров,
высота башни А равна \(5\cdot 2^2 = 5\cdot 4 = 20\) метров,
башня В выше башни А на \(31,25 - 20 = 11,25\) метров.

Ответ: 11,25

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Высота подброшенной Борисом вверх гранаты до взрыва меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента броска. При этом граната взрывается, как только достигнет высоты \(h = 31\) метр. Какое максимальное время пролетит граната до взрыва? Ответ дайте в секундах.

Добавить задание в избранное

Так как граната взрывается на высоте \(h = 31\) метр, то момент \(t\) взрыва может быть найден из уравнения \[1 + 25t - 5t^2 = 31\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 25t + 30 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 5(t^2 - 5t + 6) = 0,\] откуда находим корни \[t_1 = 2, \ t_2 = 3.\] Так как граната взрывается сразу, как только впервые достигнет высоты \(h = 31\) метр, то максимальное время с момента броска до взрыва равно \(2\) секунды (через 2 секунды после броска граната достигает высоты 31 метр, взрывается и её высота больше не меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\)).

Ответ: 2

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в градусах Кельвина, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(T_2\) – конечная температура газа в градусах Кельвина (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда \(3V_1\) – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что \[pV_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[p\cdot 3V_1 = \nu R T_2.\] Умножая первое уравнение на \(3\), получаем \[3pV_1 = 3\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(3\nu R T_1 = \nu R T_2\), следовательно, \(T_2 = 3 T_1\), то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в \(3\) раза.

Ответ: 3

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в \(\text{м}^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в градусах Кельвина, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в \(2\) раза по сравнению с первоначальным. Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась в 7 раз?

Добавить задание в избранное

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(p_1\) – начальное давление газа в Паскалях, \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(V_2\) – конечный объем газа в м\(^3\), тогда \(7T_1\) – конечная температура, \(2p_1\) – конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что \[p_1V_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[2p_1V_2 = \nu R\cdot 7T_1.\] Умножая первое уравнение на \(7\), получаем \[7p_1V_1 = 7\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(7p_1V_1 = 2p_1V_2\), следовательно, \(V_2 = 3,5 V_1\), то есть, объем совершенного газа должен увеличиться в \(3,5\) раза.

Ответ: 3,5

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R+r},\] где \(\mathcal{E}\) – ЭДС источника (в вольтах), \(R\) – сопротивление цепи в Омах, \(r = 3\) Ом – внутреннее сопротивление источника. При каком сопротивлении цепи сила тока будет составлять \(0,3\) от силы тока короткого замыкания \[I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}?\] Ответ дайте в Омах.

Добавить задание в избранное

\(I = 0,3 I_{\text{кз}}\) равносильно тому, что \[\dfrac{\mathcal{E}}{R+3} = 0,3\cdot \dfrac{\mathcal{E}}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{R+3} = 0,3\cdot \dfrac{1}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{R+3} = 0,1 \qquad\Leftrightarrow\qquad R + 3 = 10,\] откуда находим \(R = 7\) Ом.

Ответ: 7

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Рейтинг \(R\) интернет-магазина вычисляется по формуле \[{\large{R=r_{\text{пок}}-\dfrac{r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}}}{(K+1)\cdot \frac{0,02K}{r_{\text{пок}}+0,1}} \ ,}}\]

где \(r_{\text{пок}}\) – средняя оценка магазина покупателями (от \(0\) до \(1\)), \(r_{\text{экс}}\) – оценка магазина экспертами (от \(0\) до \(0,7\)) и \(K\) – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина “Альфа”, если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно \(10\), их средняя оценка равна \(0,45\), а оценка экспертов равна \(0,67\).

Добавить задание в избранное

Перепишем формулу следующим образом, чтобы избавиться от “трехэтажных” дробей: \[{\large{R=r_{\text{пок}}- \dfrac{(r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}})\cdot (r_{\text{пок}}+0,1)}{(K+1)\cdot 0,02K}}}\]

Из условия задачи следует, что \(K=10\), \(r_{\text{пок}}=0,45\), \(r_{\text{экс}}=0,67\). Подставим эти значения в формулу: \[R=0,45-\dfrac{(0,45-0,67)(0,45+0,1)}{(10+1)\cdot 0,02\cdot 10}= 0,45+\dfrac{0,22\cdot 0,55}{11\cdot 0,02\cdot 10}\] Домножим числитель и знаменатель дроби на \(100\cdot 100\), чтобы избавиться от десятичных дробей: \[R=0,45+\dfrac{22\cdot 55}{11\cdot 2\cdot 10\cdot 100}= 0,45+\dfrac{5\cdot 11}{1000}=0,45+0,055=0,505.\]

Ответ: 0,505

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 3,\ m_4 = 4,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 1,\ a_4 = 1,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 30\) Н. Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза?

Добавить задание в избранное

Пусть \(m_5\) и \(a_5\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5a_5 = 10 + m_5a_5 = 30\ \mathrm{H}.\] откуда \(m_5a_5 = 20\) Н.

После увеличения ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза сила станет \[F = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + m_5\cdot 2,5a_5 = 10 + 2,5m_5a_5 = 10 + 2,5\cdot 20 = 60\ \mathrm{H},\] то есть увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

1 2 3 4