Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 3)

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 15 #779
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда \(F_A = \rho g V\), где \(\rho\) – плотность воды в кг/м\(^3\), \(g\) – ускорение свободного падения в м/с\(^2\), \(V\) – объем Игоря в м\(^3\). Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если бы при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Пусть до увеличения объем Игоря был \(V_{\text{Игоря}}\) м\(^3\), сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была \(F_{A_{1}}\), тогда
после увеличения объем Игоря стал \(8V_{\text{Игоря}}\) м\(^3\). Сила Архимеда после увеличения объема Игоря стала \[F_{A_{2}} = \rho g\cdot 8V_{\text{Игоря}} = 8\rho g V_{\text{Игоря}} = 8F_{A_{1}}.\]

Ответ: 8

Задание 16 #780
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с \(n\) параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}},\] где \(\mathcal{E}\) – ЭДС каждого источника (в вольтах), \(R = 5,25\) Ом – сопротивление цепи в Омах, \(r = 3\) Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила половину от силы тока короткого замыкания одного источника \(I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}\). Сколько элементов ЭДС в цепи?

После подстановки в уравнение \[\dfrac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{n}} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{r}\] известных значений, получим \[\dfrac{\mathcal{E}}{5,25 + \frac{3}{n}} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\mathcal{E}}{3},\] что равносильно \(\dfrac{1}{5,25 + \frac{3}{n}} = \dfrac{1}{6}\), что равносильно \(5,25 + \dfrac{3}{n} = 6\), откуда находим \(n = 4\).

Ответ: 4

Задание 17 #761
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Иван вертикально бросил камень вниз с двух башен А и В (с начальными скоростями, равными 0). В результате он обнаружил, что время падения камня с башни А равно 2 секундам, а с башни В – 2,5 секундам. Иван может приближенно рассчитать высоту любой башни по формуле \(h = 5t^2\), где \(h\) – высота этой башни в метрах, \(t\) – время падения с неё камня в секундах. На сколько согласно подсчётам Ивана башня В выше, чем башня А? Ответ дайте в метрах.

Первый способ:

Разность высот башен В и А равна \(5\cdot{2,5}^2 - 5\cdot 2^2 = 5\cdot(6,25 - 4) = 5\cdot 2,25 = 11,25\) метров.

Второй способ:

Высота башни В равна \(5\cdot{2,5}^2 = 5\cdot 6,25 = 31,25\) метров,
высота башни А равна \(5\cdot 2^2 = 5\cdot 4 = 20\) метров,
башня В выше башни А на \(31,25 - 20 = 11,25\) метров.

Ответ: 11,25

Задание 18 #762
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Высота подброшенной Борисом вверх гранаты до взрыва меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента броска. При этом граната взрывается, как только достигнет высоты \(h = 31\) метр. Какое максимальное время пролетит граната до взрыва? Ответ дайте в секундах.

Так как граната взрывается на высоте \(h = 31\) метр, то момент \(t\) взрыва может быть найден из уравнения \[1 + 25t - 5t^2 = 31\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 25t + 30 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad 5(t^2 - 5t + 6) = 0,\] откуда находим корни \[t_1 = 2, \ t_2 = 3.\] Так как граната взрывается сразу, как только впервые достигнет высоты \(h = 31\) метр, то максимальное время с момента броска до взрыва равно \(2\) секунды (через 2 секунды после броска граната достигает высоты 31 метр, взрывается и её высота больше не меняется по закону \(h = 1 + 25t - 5t^2\)).

Ответ: 2

Задание 19 #763
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в м\(^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в градусах Кельвина, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(T_2\) – конечная температура газа в градусах Кельвина (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда \(3V_1\) – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что \[pV_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[p\cdot 3V_1 = \nu R T_2.\] Умножая первое уравнение на \(3\), получаем \[3pV_1 = 3\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(3\nu R T_1 = \nu R T_2\), следовательно, \(T_2 = 3 T_1\), то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в \(3\) раза.

Ответ: 3

Задание 20 #764
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: \(pV = \nu RT\), где \(p\) – давление в Паскалях, \(V\) – объем в \(\text{м}^3\), \(\nu\) – количество вещества в молях, \(T\) – температура в градусах Кельвина, \(R\) – универсальная газовая постоянная, равная \(8,31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в \(2\) раза по сравнению с первоначальным. Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась в 7 раз?

Пусть \(V_1\) – начальный объём газа в м\(^3\), \(p_1\) – начальное давление газа в Паскалях, \(T_1\) – начальная температура газа в градусах Кельвина, \(V_2\) – конечный объем газа в м\(^3\), тогда \(7T_1\) – конечная температура, \(2p_1\) – конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что \[p_1V_1 = \nu R T_1,\] для конечных параметров известно, что \[2p_1V_2 = \nu R\cdot 7T_1.\] Умножая первое уравнение на \(7\), получаем \[7p_1V_1 = 7\nu R T_1,\] откуда заключаем, что \(7p_1V_1 = 2p_1V_2\), следовательно, \(V_2 = 3,5 V_1\), то есть, объем совершенного газа должен увеличиться в \(3,5\) раза.

Ответ: 3,5

Задание 21 #766
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R+r},\] где \(\mathcal{E}\) – ЭДС источника (в вольтах), \(R\) – сопротивление цепи в Омах, \(r = 3\) Ом – внутреннее сопротивление источника. При каком сопротивлении цепи сила тока будет составлять \(0,3\) от силы тока короткого замыкания \[I_{\text{кз}} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}?\] Ответ дайте в Омах.

\(I = 0,3 I_{\text{кз}}\) равносильно тому, что \[\dfrac{\mathcal{E}}{R+3} = 0,3\cdot \dfrac{\mathcal{E}}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{R+3} = 0,3\cdot \dfrac{1}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{R+3} = 0,1 \qquad\Leftrightarrow\qquad R + 3 = 10,\] откуда находим \(R = 7\) Ом.

Ответ: 7