Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

10. Задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, сводящиеся к решению уравнений (страница 4)

Для того, чтобы безошибочно решать задачи из данной подтемы, необходимо натренировать умение решать простейшие уравнения из \(5\) темы и выполнять преобразования из \(9\) темы. Напомним способы решения уравнений:

 

1. Корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) ищутся по формуле \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt D}{2a}\), где \(D=b^2-4ac\). Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

 

2. В кубическом уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с целыми коэффициентами \(a, b, c, d\) рациональное число \(\dfrac pq\) будет корнем тогда и только тогда, когда \(d\) делится на \(p\), \(a\) делится на \(q\).

 

3. Иррациональное уравнение \[\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \ {\small{\text{(данное условие нужно только если } n \text{ — четное)}}} \end{cases}\]

4. Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x), \quad a>0, a\ne 1\)

 

5. Логарифмическое уравнение (\(a>0, a\ne 1\)) \[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\]

6. Тригонометрические уравнения \[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leqslant a\leqslant 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 22 #2959
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Рейтинг \(R\) интернет-магазина вычисляется по формуле \[{\large{R=r_{\text{пок}}-\dfrac{r_{\text{пок}}-r_{\text{экс}}}{(K+1)\cdot \frac{0,02K}{r_{\text{пок}}+0,1}} \ ,}}\]

где \(r_{\text{пок}}\) – средняя оценка магазина покупателями (от \(0\) до \(1\)), \(r_{\text{экс}}\) – оценка магазина экспертами (от \(0\) до \(0,7\)) и \(K\) – число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина “Альфа”, если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно \(10\), их средняя оценка равна \(0,45\), а оценка экспертов равна \(0,67\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 23 #772
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 3,\ m_4 = 4,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 1,\ a_4 = 1,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 30\) Н. Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 5-ой точки в \(2,5\) раза?

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 24 #773
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_N,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 3 материальных точек с массами \(m_1 = m_2 = 0,5m_3\) и ускорениями \(a_1 = a_2 = a_3\). Во сколько раз увеличится сила \(F\) при увеличении ускорения 3-ей точки в \(4\) раза?

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 25 #2706
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Эсминец “Тихий” плывет с постоянной скоростью \(v_0 = 33\) узла (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени \(t = 0\) часов он выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением \(a = 66\) узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы \[S = v_0t+\dfrac{at^2}{2}.\] Определите время с момента пуска (в часах), за которое торпеда поразит неподвижную цель, если расстояние от цели до места пуска торпеды равно \(0,6732\) морских миль.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 26 #1664
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(N\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 50 - P^2\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(N\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наименьшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) составит \(136\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 27 #2771
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Материальная точка \(P\) движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени \(t\) может быть найдена по формуле \(\vec{v}(t) = (x^2(t) + x(t) + t)\vec{e}_x\), где \(x(t)\) – координата точки \(P\). Известно, что при \(t\in(-1; 0)\) точка двигалась в направлении \(\vec{e}_x\), а при \(t\in(0; 1)\) – в противоположную сторону. Найдите \(x(0)\), если известно, что через положение \(x = 0\) точка не проходила.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 28 #4004
Уровень задания: Легче ЕГЭ

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \[pV^k=1,25\cdot 10^8 \ \text{Па}\cdot \text{м}^4,\] где \(p\) – давление в газе в паскалях, \(V\) – объем газа в кубических метрах, \(k=\frac43\). Найдите, какой объем \(V\) (в куб. м) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(2\cdot 10^5\) Па.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00