Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^3-9x^2+108+(a^2-108a)\mathrm{tg}\,x=a\]
имеет ровно два корня.
Рассмотрим три случая: \(a=0\), \(a=108\) и \(a\ne 0;108\).
1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид \(x^3-9x^2=-108\). Решим его графически. Рассмотрим функцию \(y=x^3-9x^2\). Нули функции: \(x=0;9\). Производная равна \(y'=3x^2-18x\), следовательно, точки экстремума \(x=0, x=6\), причем \(x=0\) – точка максимума, \(x=6\) – точка минимума. Следовательно, график выглядит так:
Причем \(y(6)=-108\). Следовательно, решение уравнения \(x^3-9x^2=-108\) – это абсциссы точек пересечения графиков функций \(y=x^3-9x^2\) и \(y=-108\). Таким образом, очевидно, что таких точек две.
Следовательно, \(a=0\) нам подходит.
2) \(a=108\). Тогда уравнение примет вид \(x^3-9x^2=0\). Это уравнение имеет два решения \(x=0\) и \(x=9\). Следовательно, \(a=108\) нам также подходит.
3) Пусть \(a\ne 0;108\). Рассмотрим функцию \(f(x)=(x^3-9x^2+108-a)+(a^2-108a)\mathrm{tg}\,x\). Тогда уравнение примет вид \(f(x)=0\).
Эта функция состоит из суммы двух функций: \(h(x)= x^3-9x^2+108-a\) и \(g(x)=(a^2-108a)\mathrm{tg}\,x\). Функция \(g\) определена при всех \(x\) кроме \(x=\dfrac{\pi}2+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), причем на любом отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2+\pi k; \dfrac{\pi}2+\pi k\right]\) принимает значения от \(-\infty\) до \(+\infty\) (вообще говоря, она еще периодическая).
Функция \(h\) кубическая, определена при любом \(x\), причем на каждом отрезке вида \(\left[-\dfrac{\pi}2+\pi k; \dfrac{\pi}2+\pi k\right]\) она ограничена (то есть ее область значений на этом отрезке – от \(h\left(-\frac{\pi}2+\pi k\right)\) до \(h\left(\frac{\pi}2+\pi
k\right)\)).
Обе функции \(g\) и \(h\) также непрерывны на любом отрезке \(\left[-\dfrac{\pi}2+\pi k; \dfrac{\pi}2+\pi k\right]\). Следовательно, функция \(f\) также непрерывна на любом таком отрезке, а также принимает значения от \(-\infty\) до \(+\infty\). Значит, на любом таком отрезке существует хотя бы одна точка, удовлетворяющая уравнению \(f(x)=c\). В частности, это верно и для \(c=0\). Следовательно, на любом отрезке вида \(\left[-\dfrac{\pi}2+\pi k;
\dfrac{\pi}2+\pi k\right]\) существует хотя бы одно решение уравнения \(f(x)=0\).
Так как таких отрезков бесконечное множество, то и решений у уравнения \(f(x)=0\) бесконечно. Следовательно, любые \(a\ne 0;108\) нам не подходят.
Таким образом, ответ \(a\in \{0;108\}\).
Ответ:
\(a\in \{0;108\}\)