Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 3)

Преобразуем данное уравнение к виду:
\[\dfrac{x^2-(2a+1)x+(2a^2+2a-2)}{(x+2)(x-a)}=0\]
Данное уравнение будет иметь единственный корень, если:
1) квадратное уравнение в числителе имеет один корень \(x_0\), причем \(x_0\ne -2, x_0\ne a\).
Рассмотрим \[\begin{aligned} & y(x)=x^2-(2a+1)x+(2a^2+2a-2)=0 \\ & D=-4a^2-4a+9\\ & D=0 \Longrightarrow a=\dfrac{-1\pm\sqrt{10}}{2} \end{aligned}\]
Тогда \(x_0=\dfrac{2a+1}{2}\). Заметим, что \(x_0=-2\) при \(a=-\frac52\) и \(x_0\ne a\) ни при каких \(a\). Следовательно, найденные значения \(a\) нам подходят.

2) квадратное уравнение в числителе имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем только один из них равен \(-2\) или \(a\).
Во-первых, \(D>0\), откуда \[a\in \left(\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2}\right)\] Определим, при каких \(a\) \(x=-2\) является корнем \(y(x)=0\): \[y(-2)=0\quad\Rightarrow\quad a^2+3a+2=0\quad\Rightarrow\quad a=-2; -1\] Определим, при каких \(a\) \(x=a\) является корнем \(y(x)=0\): \[y(a)=0\quad\Rightarrow\quad a^2+a-2=0\quad\Rightarrow\quad a=-2; 1\] При \(a=-2; -1;1\) действительно \(D>0\).
Если \(a=-2\), то \(-2=a\), то есть нули знаменателя совпадают. Один корень числителя равен \(x_1=-2\), второй корень \(x_2\) числителя находится по теореме Виета \[-2+x_2=2a+1\quad\Rightarrow\quad x_2=-1\] Следовательно, \(a=-2\) подходит.
Если \(a=-1\), то нули знаменателя равны \(-2\) и \(-1\), один корень числителя равен \(x_1=-2\), второй равен \(x_2=1\) – не совпадает с нулями знаменателя. \(a=-1\) нам подходит.
Если \(a=1\), то нули знаменателя равны \(-2\) и \(1\), один корень числителя равен \(x_1=a=1\), второй равен \(x_2=2\) – не совпадает с нулями знаменателя. \(a=1\) нам также подходит.

Таким образом, \(a\in \left\{\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; -2; -1; 1; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} \right\}\).

Ответ:

\(\left\{\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; -2; -1; 1; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} \right\}\)

Сделаем замену \(2^x=t, t>0\). Тогда уравнение примет вид:

\(t-a=\sqrt{t^2-3a}\). Это уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} (t-a)^2=t^2-3a\\ t-a \geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t=\dfrac{a+3}{2}, \ \text{если } a\ne 0\\ t \geqslant a \end{cases}\]

Заметим, что если \(a=0\), то уравнение имеет бесконечное множество решений \(t\geqslant 0\).

Для того, чтобы уравнение имело 1 решение, необходимо, чтобы \(\dfrac{a+3}{2}\geqslant a \quad \text{и} \quad \dfrac{a+3}{2} >0 \Leftrightarrow -3< a \leqslant 3\). Учитывая то, что \(a\ne 0\), получаем \(a\in (-3;0)\cup (0;3]\).

Ответ:

\(a\in (-3;0)\cup (0;3]\).

Данное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \begin{aligned} &15x^2+6ax+9=(x^2+ax+3)^2\\ &x^2+ax+3 \geqslant 0 \end{aligned} \end{cases}\]

Рассмотрим первое уравнение системы:

\(15x^2+6ax+9=(x^2+ax+3)^2 \Leftrightarrow x^2(x^2+2ax+a^2-9)=0 \Leftrightarrow x^2(x+a-3)(x+a+3)=0\).

Таким образом, это уравнение имеет три корня: \(x_1=0, x_2=3-a, x_3=-3-a\).

Для того, чтобы вся система имела три различных корня, необходимо выполнение двух условий:

1) \(x_1\ne x_2\ne x_3\). Следовательно, \(a\ne -3;3\).

2) \(x_1^2+ax_1+3 \geqslant 0, \ x_2^2+ax_2+3 \geqslant 0, \ x_3^2+ax_3+3 \geqslant 0\). Следовательно, \(a\in [-4;4]\).

Таким образом, \(a\in [-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;4]\).

Ответ:

\(a\in [-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;4]\).

Преобразуем систему: \[\begin{cases} xy(y-2)-4(y-2)=0\\4-y>0\\y=ax\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}(y-2)(xy-4)=0\\y<4\\y=ax\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\\y=ax\end{cases}\] Таким образом, необходимо найти значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=ax\) пересекает в трех точках график системы \(\begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:

Из рисунка видно, что три точки будут тогда, когда прямая \(y=ax\) находится между положениями (1) и (3), не включая их и положение (2). На рисунке положения (1),(2),(3) отмечены синим пунктиром, примеры подходящего положения прямой \(y=ax\) серым цветом, а график системы зеленым.

1) Найдем значение параметра, соответствующее положению (1).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку \((1;4)\), следовательно: \(a=4\).

2) Найдем значение параметра, соответствующее положению (2).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку пересечения \(y=\frac4x\) и \(y=2\), то есть через \((2;2)\), следовательно, \(a=1\).

3) Найдем значение параметра, соответствующее положению (3).
Тогда прямая \(y=ax\) совпадает с осью \(Ox\), то есть с прямой \(y=0\), следовательно, \(a=0\).

Таким образом, при \(a\in (0;1)\cup(1;4)\) изначальная система имеет три различных решения.

Ответ:

\(a\in (0;1)\cup(1;4)\)

Перепишем уравнение в виде \(x^3+4x^2=x\cdot \log_2(a-3)-6\), обозначим \(b=\log_2(a-3), \ f(x)=x^3+4x^2, \ g(x)=bx-6\).

Найдем такие значения \(b\), при которых функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну общую точку на отрезке \([-2;2]\).

\(g(x)\) – это прямая (при каждом фиксированном \(b\)), проходящая через точку \((0;-6)\).

1) Рассмотрим отдельно случай, когда \(g(x)\) касается \(f(x)\) в точке \(x_o\): \[\begin{cases} f'(x_o)=b\\ x_o^3+4x_o^2-x_o\cdot b+6=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ x_o^3+2x_o^2-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ (x_o-1)(x_o^2+3x_o+3)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=11\\ x_o=1 \end{cases}\]

Таким образом, в этом случае обе функции имеют ровно 1 точку пересечения: \(x_o=1\).

\(b=11 \Rightarrow \log_2(a-3)=11 \Rightarrow a=2051\).

2) Рассмотрим случай \(b\ne 11\) (нет точек касания).

Тогда функции будут иметь ровно 1 точку пересечения на \([-2;2]\), если \(g(-2)>f(-2)\) (I случай) или \(g(2)>f(2)\) (II случай):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} -2b-6 &> 8 \ \ \text{(I случай)}\\ 2b-6 &> 24 \ \ \text{(II случай)} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Следовательно, \(b\in (\infty;-7)\cup (15;+\infty) \Rightarrow a\in (3;\frac{385}{128})\cup (32771;+\infty)\).

Отдельно рассмотрим случаи, когда \(b=-7\) или \(b=15\):

а) \(b=-7\). Функции имеют общую точку \(x=-2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2+7x+6=0\) один из корней \(x=-2\). Значит,

\(x^3+4x^2+7x+6=(x+2)(x^2+2x+3)=0 \Rightarrow\) уравнение имеет единственный корень \(x=-2\) (т.к. дискриминант второй скобки отрицателен). Значит, значение \(b=-7\) – подходит. Следовательно, \(a=\dfrac{385}{128}\).

б) \(b=15\). Функции имеют общую точку \(x=2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2-15x+6=0\) один из корней \(x=2\). Значит,

\(x^3+4x^2-15x+6=(x-2)(x^2+6x-3)=(x-2)(x-(-3-2\sqrt3))(x-(-3+2\sqrt3))=0 \Rightarrow \) уравнение имеет 2 корня \(x=2\) и \(x=-3+2\sqrt3\) на отрезке \([-2;2]\). Значит, значение \(b=15\) не подходит.

Ответ:

\(a\in(3;\dfrac{385}{128}]\cup\{2051\} \cup(32771;+\infty)\).

Преобразуем первое уравнение системы: \[y^2-(7+x)y+5(x+2)=0, \quad D=(x-3)^2 \quad\Rightarrow\quad y_1=x+2\quad\text{и}\quad y_2=5.\] Таким образом, систему можно переписать в виде: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\\ y=a(x-6)\end{cases}\] Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=a(x-6)\) пересекает ровно в одной точке график системы \(\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:

Зеленым цветом отмечен график системы (заметим, что точка \((0;2)\) выколота), синим – примеры подходящего положения прямой \(y=a(x-6)\).

1) Рассмотрим положение (1): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через точку \((3;5)\) пересечения графиков \(y=5\) и \(y=x+2\). Следовательно, \(a=-\dfrac53\).

2) Рассмотрим положение (2): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через выколотую точку \((0;2)\), следовательно, \(a=-\dfrac13\).

3) Рассмотрим положение (3): прямая \(y=a(x-6)\) совпадает с осью \(Ox\), следовательно, \(a=0\).

4) Рассмотрим положение (4): прямая \(y=a(x-6)\) наклонена под острым углом к оси \(Ox\), следовательно, \(a>0\). Но заметим, что при \(a=1\) прямая \(y=a(x-6)\) параллельна прямой \(y=x+2\) и не имеет точек пересечения с зеленым графиком. При \(a>1\) прямая \(y=a(x-6)\) не имеет с зеленым графиком точек пересечения, так как \(x\leqslant 6\) (а точки пересечения могли бы быть при \(x>6\)).

Таким образом, имеем окончательный ответ: \(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;1)\).

Ответ:

\(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;1)\)

Данная система равносильна уравнению \((x-a)^2+x-2=|x^2+x-2| \Leftrightarrow\) \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x^2+x-2>0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=x^2+x-2 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} x^2+x-2\leqslant 0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=-x^2-x+2 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\\ a\cdot (2x-a)=0 \end{cases} \ \ \ \ \ (I)\\[2ex] &\begin{cases} x\in [-2;1]\\ x^2+(1-a)x+\dfrac{a^2}{2}-2=0 \end{cases} \ \ \ \ (II) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что вся совокупность будет иметь более двух решений в одном из следующих случаев:

1) \(a=0\). Тогда уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет решение \(x\in \mathbb{R}\), а вся система I – решение \(x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\). Следовательно, и вся совокупность имеет бесконечное множество решений.

2) При всех \(a\ne 0\) уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет одно решение \(x=\dfrac{a}{2}\), а вся система I будет иметь 1 решение, если \(\dfrac{a}{2}\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\) (в противном случае система I не будет иметь решений).

Система II может иметь 0, 1 или 2 решения. Таким образом, вся совокупность будет иметь более двух решений, когда система I имеет 1 решение, а система II – 2 решения (и все различны).
(обозначим \(f(x)=x^2+(1-a)x+\frac{a^2}{2}-2\)) \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a}{2}<-2\\[1ex] &\dfrac{a}{2}>1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\[1ex] D=9-2a-a^2>0\\[1ex] f(-2)\geqslant 0\\[1ex] f(1)\geqslant 0\\[1ex] -2<-\dfrac{1-a}{2}<1 \ \ ({\small{\text{вершина параболы }}}f(x){\small{\text{ находится в промежутке }}}(-2;1))\\[1ex] f\left(\dfrac{a}{2}\right)\ne 0 \ \ \ ({\small{\text{корень системы I не совпадает ни с одним из корней системы II}}})\\[1ex] a\ne 0 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).

Ответ:

\(a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).