Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \dfrac{xy^2-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0\\[2ex] y=ax\end{cases}\]

имеет три различных решения.

 

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем систему: \[\begin{cases} xy(y-2)-4(y-2)=0\\4-y>0\\y=ax\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}(y-2)(xy-4)=0\\y<4\\y=ax\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\\y=ax\end{cases}\] Таким образом, необходимо найти значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=ax\) пересекает в трех точках график системы \(\begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Из рисунка видно, что три точки будут тогда, когда прямая \(y=ax\) находится между положениями (1) и (3), не включая их и положение (2). На рисунке положения (1),(2),(3) отмечены синим пунктиром, примеры подходящего положения прямой \(y=ax\) серым цветом, а график системы зеленым.

 

1) Найдем значение параметра, соответствующее положению (1).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку \((1;4)\), следовательно: \(a=4\).

 

2) Найдем значение параметра, соответствующее положению (2).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку пересечения \(y=\frac4x\) и \(y=2\), то есть через \((2;2)\), следовательно, \(a=1\).

 

3) Найдем значение параметра, соответствующее положению (3).
Тогда прямая \(y=ax\) совпадает с осью \(Ox\), то есть с прямой \(y=0\), следовательно, \(a=0\).

 

Таким образом, при \(a\in (0;1)\cup(1;4)\) изначальная система имеет три различных решения.

Ответ:

\(a\in (0;1)\cup(1;4)\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^3+4x^2-x\cdot \log_2(a-3)+6=0\]

имело единственное решение на отрезке \([-2;2]\).

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде \(x^3+4x^2=x\cdot \log_2(a-3)-6\), обозначим \(b=\log_2(a-3), \ f(x)=x^3+4x^2, \ g(x)=bx-6\).

 

Найдем такие значения \(b\), при которых функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну общую точку на отрезке \([-2;2]\).

\(g(x)\) – это прямая (при каждом фиксированном \(b\)), проходящая через точку \((0;-6)\).

 

1) Рассмотрим отдельно случай, когда \(g(x)\) касается \(f(x)\) в точке \(x_o\): \[\begin{cases} f'(x_o)=b\\ x_o^3+4x_o^2-x_o\cdot b+6=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ x_o^3+2x_o^2-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ (x_o-1)(x_o^2+3x_o+3)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=11\\ x_o=1 \end{cases}\]

Таким образом, в этом случае обе функции имеют ровно 1 точку пересечения: \(x_o=1\).


 

\(b=11 \Rightarrow \log_2(a-3)=11 \Rightarrow a=2051\).

 

2) Рассмотрим случай \(b\ne 11\) (нет точек касания).

Тогда функции будут иметь ровно 1 точку пересечения на \([-2;2]\), если \(g(-2)>f(-2)\) (I случай) или \(g(2)>f(2)\) (II случай):


 

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} -2b-6 &> 8 \ \ \text{(I случай)}\\ 2b-6 &> 24 \ \ \text{(II случай)} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Следовательно, \(b\in (\infty;-7)\cup (15;+\infty) \Rightarrow a\in (3;\frac{385}{128})\cup (32771;+\infty)\).

 

Отдельно рассмотрим случаи, когда \(b=-7\) или \(b=15\):


 

а) \(b=-7\). Функции имеют общую точку \(x=-2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2+7x+6=0\) один из корней \(x=-2\). Значит,

\(x^3+4x^2+7x+6=(x+2)(x^2+2x+3)=0 \Rightarrow\) уравнение имеет единственный корень \(x=-2\) (т.к. дискриминант второй скобки отрицателен). Значит, значение \(b=-7\) – подходит. Следовательно, \(a=\dfrac{385}{128}\).

 

б) \(b=15\). Функции имеют общую точку \(x=2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2-15x+6=0\) один из корней \(x=2\). Значит,

\(x^3+4x^2-15x+6=(x-2)(x^2+6x-3)=(x-2)(x-(-3-2\sqrt3))(x-(-3+2\sqrt3))=0 \Rightarrow \) уравнение имеет 2 корня \(x=2\) и \(x=-3+2\sqrt3\) на отрезке \([-2;2]\). Значит, значение \(b=15\) не подходит.

Ответ:

\(a\in(3;\dfrac{385}{128}]\cup\{2051\} \cup(32771;+\infty)\).

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} y(y-7)=xy-5(x+2)\\ x\leqslant 6\\ \dfrac{a(x-6)-2}{y-2}=1 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(ЕГЭ 2015, резерв)

Добавить задание в избранное

Преобразуем первое уравнение системы: \[y^2-(7+x)y+5(x+2)=0, \quad D=(x-3)^2 \quad\Rightarrow\quad y_1=x+2\quad\text{и}\quad y_2=5.\] Таким образом, систему можно переписать в виде: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\\ y=a(x-6)\end{cases}\] Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=a(x-6)\) пересекает ровно в одной точке график системы \(\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Зеленым цветом отмечен график системы (заметим, что точка \((0;2)\) выколота), синим – примеры подходящего положения прямой \(y=a(x-6)\).

 

1) Рассмотрим положение (1): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через точку \((3;5)\) пересечения графиков \(y=5\) и \(y=x+2\). Следовательно, \(a=-\dfrac53\).

2) Рассмотрим положение (2): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через выколотую точку \((0;2)\), следовательно, \(a=-\dfrac13\).

3) Рассмотрим положение (3): прямая \(y=a(x-6)\) совпадает с осью \(Ox\), следовательно, \(a=0\).

4) Рассмотрим положение (4): прямая \(y=a(x-6)\) наклонена под острым углом к оси \(Ox\), следовательно, \(a>0\).

 

Таким образом, имеем окончательный ответ: \(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;+\infty)\).

Ответ:

\(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;+\infty)\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система: \[\begin{cases} y^2+x-2=|x^2+x-2|\\ x-y=a \end{cases}\]

имеет более двух решений.

 

(ЕГЭ 2015, резерв)

Добавить задание в избранное

Данная система равносильна уравнению \((x-a)^2+x-2=|x^2+x-2| \Leftrightarrow\) \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x^2+x-2>0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=x^2+x-2 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} x^2+x-2\leqslant 0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=-x^2-x+2 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\\ a\cdot (2x-a)=0 \end{cases} \ \ \ \ \ (I)\\[2ex] &\begin{cases} x\in [-2;1]\\ x^2+(1-a)x+\dfrac{a^2}{2}-2=0 \end{cases} \ \ \ \ (II) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что вся совокупность будет иметь более двух решений в одном из следующих случаев:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет решение \(x\in \mathbb{R}\), а вся система I – решение \(x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\). Следовательно, и вся совокупность имеет бесконечное множество решений.

 

2) При всех \(a\ne 0\) уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет одно решение \(x=\dfrac{a}{2}\), а вся система I будет иметь 1 решение, если \(\dfrac{a}{2}\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\) (в противном случае система I не будет иметь решений).

 

Система II может иметь 0, 1 или 2 решения. Таким образом, вся совокупность будет иметь более двух решений, когда система I имеет 1 решение, а система II – 2 решения (и все различны).
(обозначим \(f(x)=x^2+(1-a)x+\frac{a^2}{2}-2\)) \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a}{2}<-2\\[1ex] &\dfrac{a}{2}>1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\[1ex] D=9-2a-a^2>0\\[1ex] f(-2)\geqslant 0\\[1ex] f(1)\geqslant 0\\[1ex] -2<-\dfrac{1-a}{2}<1 \ \ ({\small{\text{вершина параболы }}}f(x){\small{\text{ находится в промежутке }}}(-2;1))\\[1ex] f\left(\dfrac{a}{2}\right)\ne 0 \ \ \ ({\small{\text{корень системы I не совпадает ни с одним из корней системы II}}})\\[1ex] a\ne 0 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).

Ответ:

\(a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \dfrac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\[2ex] x+y-a=0\end{cases}\]

имеет два различных решения.

 

(ЕГЭ 2015, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем скобку в числителе дроби: \[y^2-xy+3x-y-6=0 \quad\Leftrightarrow\quad y^2-(x+1)y+3x-6=0\] Дискриминант равен \(D=(x-5)^2\quad\Rightarrow\) \[y_1=\dfrac{x+1+x-5}2=x-2\quad\text{и}\quad y_2=\dfrac{x+1-x+5}2=3.\] Таким образом, всю систему можно записать в виде: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y^2-(x+1)y+3x-6=0\\ &x+2=0\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ 6-x>0\\ x+2\geqslant 0\\ y=-x+a\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ -2\leqslant x<6\\ y=-x+a\end{cases}\]

Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы \(\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ -2\leqslant x<6\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Зеленым цветом изображен график системы, синим и черным – возможные положения прямой \(y=-x+a\).

 

1) Заметим, что если прямая \(y=-x+a\) находится в положении (1) (проходит через точку \((6;4)\) пересечения \(y=x-2\) и \(x=6\)) и выше, то она имеет только одну точку пересечения с графиком системы.
Между положениями (1) и (2) и в положении (2) (проходит через точку \((6;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=6\)) прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы. Найдем соответствующие значения параметра.

 

Положение (1): \(a=10\);
положение (2): \(a=9\).

 

Следовательно, при \(a\in[9;10)\) имеем две точки пересечения.

 

2) Между положениями (2) и (3) – три точки пересечения, а вот в положении (3) (проходит через точку \((5;3)\) пересечения \(y=3\) и \(y=x-2\)) – две точки.
Положение (3): \(a=8\).

 

3) Между положениями (3) и (4) – три точки пересечения, а вот в положении (4) (проходит через точку \((-2;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=-2\)) – две точки.
Положение (4): \(a=1\).

 

4) Между положениями (4) и (5) – две точки пересечения.
Положение (5) – прямая \(y=-x+a\) проходит через точку \((-2;-4)\) пересечения \(x=-2\) и \(y=x-2\), следовательно, \(a=-6\).

 

Следовательно, при \(a\in (-6;1)\) имеем две точки пересечения.

 

Собрав все подходящие значения параметра, получим: \(a\in (-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)\).

Ответ:

\(a\in (-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых неравенство \[|3\sin x+a^2-22|+|7\sin x+a+12|\leqslant 11\sin x+|a^2+a-20|+11\]

выполнено для всех значений \(x\).

 

(ЕГЭ 2014, вторая волна, резерв)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(\sin x+1=t\), следовательно, \(t\in [0;2]\). Тогда неравенство примет вид: \[|3t+a^2-25|+|7t+a+5|\leqslant 11t+|a^2+a-20|\] Заметим, что при раскрытии модулей в левой части (на соответствующем промежутке) коэффициент перед \(t\) (в левой части) будет равен либо \(7+3=10\), либо \(7-3=4\), либо \(3-7=-4\), либо \(-3-7=-10\). В любом случае при переносе данного слагаемого в правую часть и приведении подобных слагаемых коэффициент перед \(t\) (в правой части) будет положительным.
Например, если модули раскроются оба положительными (то есть \(3t>-a^2+25, \ 7t>-a-5\)), то неравенство для таких \(t\) примет вид: \[3t+a^2-25+7t+a+5\leqslant 11t+|a^2+a-20|\quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant t+|a^2+a-20|-a^2-a+20\quad\Leftrightarrow\quad t+|a^2+a-20|-a^2-a+20\geqslant0\] Следовательно, справа получается возрастающая линейная функция.

 

Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция \(y(t)=11t+|a^2+a-20|-|3t+a^2-25|-|7t+a+5|\) всегда будет монотонно возрастающей.
Поэтому если рассмотреть неравенство в виде \[y(t)=11t+|a^2+a-20|-|3t+a^2-25|-|7t+a+5|\geqslant 0,\] то для того, чтобы неравенство при всех \(t\in[0;2]\) выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функции \(y(t)\) был выше оси \(Ox\). Следовательно, значение \(y(0)\) (в левой точке отрезка \([0;2]\)) должно быть неотрицательным:

\[11\cdot 0+|a^2+a-20|-|3\cdot 0+a^2-25|-|7\cdot 0+a+5|\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad |a^2+a-20|\geqslant|a^2-25|+|a+5|\] Заметим, что \(a^2-25+a+5=a^2+a-20\). Следовательно, данное неравенство имеет вид: \(|A+B|\geqslant |A|+|B|\). Как известно, при всех \(A\) и \(B\) выполняется неравенство: \(|A+B|\leqslant |A|+|B|\). Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда \[|A+B|=|A|+|B|\] Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел \(A\) и \(B\), хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно \[AB\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad (a^2-25)(a+5)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad (a+5)^2(a-5)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad a\in \{-5\}\cup[5;+\infty).\]

Ответ:

\(a\in \{-5\}\cup[5;+\infty)\)

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[(\mathrm{tg}\,x+6)^2-(a^2+2a+8)(\mathrm{tg}\,x+6)+a^2(2a+8)=0\]

имеет ровно два различных решения на отрезке \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right]\).

 

(ЕГЭ 2014, вторая волна)

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(\mathrm{tg}\,x\) – периодическая функция с периодом \(\pi\). Таким образом, если данное уравнение будет иметь решение на \(\left[0;\frac{\pi}2\right)\), то оно также будет иметь еще одно решение на \(\left[\pi;\frac{3\pi}2\right)\) (в точках \(\frac{\pi}2, \frac{3\pi}2\) тангенс не определен). А вот решения из промежутка \(\left(\frac{\pi}2;\pi\right)\) не дублируются на отрезке \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right]\).
Таким образом, данное уравнение будет иметь два решения на отрезке \(\left[0;\dfrac{3\pi}2\right]\) в одном из двух случаев:

 

1) Если оно будет иметь ровно одно, причем неотрицательное, решение относительно \(\mathrm{tg}\,x\).

2) Если оно будет иметь ровно два различных, причем отрицательных, решения относительно \(\mathrm{tg}\,x\).

 

Рассмотрим первый случай.

 

Введем обозначение \(\mathrm{tg}\,x+6=t\). Тогда \(t\geqslant 6\). Получим уравнение: \[t^2-(a^2+2a+8)t+a^2(2a+8)=0\]Заметим, что по теореме Виета корнями данного уравнения будут: \[t_1=2a+8\quad\text{и}\quad t_2=a^2\]Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, причем \(t\geqslant 6\), нужно:\[\begin{cases} t_1=t_2\\t_1\geqslant 6\end{cases} \quad\Rightarrow\quad a=4.\]

Рассмотрим второй случай.

 

Т.к. в этом случае \(\mathrm{tg}\,x<0\quad\Rightarrow\quad t<6\).
Также остается: \[t_1=2a+8\quad\text{и}\quad t_2=a^2\] Для того, чтобы уравнение имело два корня, причем оба были меньше \(6\), нужно:\[\begin{cases} t_1\ne t_2\\t_1<6\\t_2<6\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases}-\sqrt6<a<-1\\a\ne -2\end{cases}\]

Таким образом, окончательный ответ в задаче: \[a\in (-\sqrt6;-2)\cup(-2;-1)\cup\{4\}.\]

Ответ:

\(a\in(-\sqrt6;-2)\cup(-2;-1)\cup\{4\}\)

1 2 3 4