Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\dfrac{x-2a}{x+2}+\dfrac{x-1}{x-a}=1\]

имеет единственный корень.

 

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем данное уравнение к виду:
\[\dfrac{x^2-(2a+1)x+(2a^2+2a-2)}{(x+2)(x-a)}=0\]
Данное уравнение будет иметь единственный корень, если:
1) квадратное уравнение в числителе имеет один корень \(x_o\), причем \(x_o\ne -2, x_o\ne a\).
Рассмотрим \[\begin{aligned} & y(x)=x^2-(2a+1)x+(2a^2+2a-2)=0 \\ & D=-4a^2-4a+9\\ & D=0 \Longrightarrow a=\dfrac{-1\pm\sqrt{10}}{2} \end{aligned}\]
Тогда \(x_o=\dfrac{2a+1}{2}\).
С помощью проверки убеждаемся, что при найденных значениях \(a\):   \(x_o\ne -2, x_o\ne a\).

 

2) квадратное уравнение в числителе имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем только один из них равен -2 или \(a\).
Значит,
\[\begin{cases} \begin{aligned} & D>0 \\ & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & y(-2)=0\\ & y(a)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{aligned} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{aligned} & a\in (\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2})\\ & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & a^2+3a+2=0\\ & a^2+a-2=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{aligned} \end{cases} \Rightarrow\]
\[\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & a=-1\\ & a=1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ \text{т.к. при } a=-2: \ \ y(-2)=0 \text{ и } \ y(a)=0\]
Таким образом, \(a\in \{\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; -1; 1; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} \}\).

Ответ:

\(\{\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; -1; 1; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} \}\).

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{15x^2+6ax+9}=x^2+ax+3\]

имеет ровно три различных решения.

 

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Данное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \begin{aligned} &15x^2+6ax+9=(x^2+ax+3)^2\\ &x^2+ax+3 \geqslant 0 \end{aligned} \end{cases}\]

Рассмотрим первое уравнение системы:

\(15x^2+6ax+9=(x^2+ax+3)^2 \Leftrightarrow x^2(x^2+2ax+a^2-9)=0 \Leftrightarrow x^2(x+a-3)(x+a+3)=0\).

Таким образом, это уравнение имеет три корня: \(x_1=0, x_2=3-a, x_3=-3-a\).

Для того, чтобы вся система имела три различных корня, необходимо выполнение двух условий:

 

1) \(x_1\ne x_2\ne x_3\). Следовательно, \(a\ne -3;3\).

 

2) \(x_1^2+ax_1+3 \geqslant 0, \ x_2^2+ax_2+3 \geqslant 0, \ x_3^2+ax_3+3 \geqslant 0\). Следовательно, \(a\in [-4;4]\).

 

Таким образом, \(a\in [-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;4]\).

Ответ:

\(a\in [-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;4]\).

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \dfrac{xy^2-2xy-4y+8}{\sqrt{4-y}}=0\\[2ex] y=ax\end{cases}\]

имеет три различных решения.

 

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем систему: \[\begin{cases} xy(y-2)-4(y-2)=0\\4-y>0\\y=ax\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}(y-2)(xy-4)=0\\y<4\\y=ax\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\\y=ax\end{cases}\] Таким образом, необходимо найти значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=ax\) пересекает в трех точках график системы \(\begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac4x\end{aligned}\end{gathered} \right.\\y<4\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Из рисунка видно, что три точки будут тогда, когда прямая \(y=ax\) находится между положениями (1) и (3), не включая их и положение (2). На рисунке положения (1),(2),(3) отмечены синим пунктиром, примеры подходящего положения прямой \(y=ax\) серым цветом, а график системы зеленым.

 

1) Найдем значение параметра, соответствующее положению (1).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку \((1;4)\), следовательно: \(a=4\).

 

2) Найдем значение параметра, соответствующее положению (2).
Тогда прямая \(y=ax\) проходит через точку пересечения \(y=\frac4x\) и \(y=2\), то есть через \((2;2)\), следовательно, \(a=1\).

 

3) Найдем значение параметра, соответствующее положению (3).
Тогда прямая \(y=ax\) совпадает с осью \(Ox\), то есть с прямой \(y=0\), следовательно, \(a=0\).

 

Таким образом, при \(a\in (0;1)\cup(1;4)\) изначальная система имеет три различных решения.

Ответ:

\(a\in (0;1)\cup(1;4)\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^3+4x^2-x\cdot \log_2(a-3)+6=0\]

имело единственное решение на отрезке \([-2;2]\).

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде \(x^3+4x^2=x\cdot \log_2(a-3)-6\), обозначим \(b=\log_2(a-3), \ f(x)=x^3+4x^2, \ g(x)=bx-6\).

 

Найдем такие значения \(b\), при которых функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют ровно одну общую точку на отрезке \([-2;2]\).

\(g(x)\) – это прямая (при каждом фиксированном \(b\)), проходящая через точку \((0;-6)\).

 

1) Рассмотрим отдельно случай, когда \(g(x)\) касается \(f(x)\) в точке \(x_o\): \[\begin{cases} f'(x_o)=b\\ x_o^3+4x_o^2-x_o\cdot b+6=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ x_o^3+2x_o^2-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=3x_o^2+8x_o\\ (x_o-1)(x_o^2+3x_o+3)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=11\\ x_o=1 \end{cases}\]

Таким образом, в этом случае обе функции имеют ровно 1 точку пересечения: \(x_o=1\).


 

\(b=11 \Rightarrow \log_2(a-3)=11 \Rightarrow a=2051\).

 

2) Рассмотрим случай \(b\ne 11\) (нет точек касания).

Тогда функции будут иметь ровно 1 точку пересечения на \([-2;2]\), если \(g(-2)>f(-2)\) (I случай) или \(g(2)>f(2)\) (II случай):


 

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} -2b-6 &> 8 \ \ \text{(I случай)}\\ 2b-6 &> 24 \ \ \text{(II случай)} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Следовательно, \(b\in (\infty;-7)\cup (15;+\infty) \Rightarrow a\in (3;\frac{385}{128})\cup (32771;+\infty)\).

 

Отдельно рассмотрим случаи, когда \(b=-7\) или \(b=15\):


 

а) \(b=-7\). Функции имеют общую точку \(x=-2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2+7x+6=0\) один из корней \(x=-2\). Значит,

\(x^3+4x^2+7x+6=(x+2)(x^2+2x+3)=0 \Rightarrow\) уравнение имеет единственный корень \(x=-2\) (т.к. дискриминант второй скобки отрицателен). Значит, значение \(b=-7\) – подходит. Следовательно, \(a=\dfrac{385}{128}\).

 

б) \(b=15\). Функции имеют общую точку \(x=2\), следовательно, у уравнения \(x^3+4x^2-15x+6=0\) один из корней \(x=2\). Значит,

\(x^3+4x^2-15x+6=(x-2)(x^2+6x-3)=(x-2)(x-(-3-2\sqrt3))(x-(-3+2\sqrt3))=0 \Rightarrow \) уравнение имеет 2 корня \(x=2\) и \(x=-3+2\sqrt3\) на отрезке \([-2;2]\). Значит, значение \(b=15\) не подходит.

Ответ:

\(a\in(3;\dfrac{385}{128}]\cup\{2051\} \cup(32771;+\infty)\).

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} y(y-7)=xy-5(x+2)\\ x\leqslant 6\\ \dfrac{a(x-6)-2}{y-2}=1 \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(ЕГЭ 2015, резерв)

Добавить задание в избранное

Преобразуем первое уравнение системы: \[y^2-(7+x)y+5(x+2)=0, \quad D=(x-3)^2 \quad\Rightarrow\quad y_1=x+2\quad\text{и}\quad y_2=5.\] Таким образом, систему можно переписать в виде: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\\ y=a(x-6)\end{cases}\] Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=a(x-6)\) пересекает ровно в одной точке график системы \(\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &y=x+2\\ &y=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\\ x\leqslant 6\\ y\ne 2\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Зеленым цветом отмечен график системы (заметим, что точка \((0;2)\) выколота), синим – примеры подходящего положения прямой \(y=a(x-6)\).

 

1) Рассмотрим положение (1): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через точку \((3;5)\) пересечения графиков \(y=5\) и \(y=x+2\). Следовательно, \(a=-\dfrac53\).

2) Рассмотрим положение (2): прямая \(y=a(x-6)\) проходит через выколотую точку \((0;2)\), следовательно, \(a=-\dfrac13\).

3) Рассмотрим положение (3): прямая \(y=a(x-6)\) совпадает с осью \(Ox\), следовательно, \(a=0\).

4) Рассмотрим положение (4): прямая \(y=a(x-6)\) наклонена под острым углом к оси \(Ox\), следовательно, \(a>0\).

 

Таким образом, имеем окончательный ответ: \(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;+\infty)\).

Ответ:

\(a\in \big\{-\frac53;-\frac13\big\}\cup[0;+\infty)\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система: \[\begin{cases} y^2+x-2=|x^2+x-2|\\ x-y=a \end{cases}\]

имеет более двух решений.

 

(ЕГЭ 2015, резерв)

Добавить задание в избранное

Данная система равносильна уравнению \((x-a)^2+x-2=|x^2+x-2| \Leftrightarrow\) \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x^2+x-2>0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=x^2+x-2 \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} x^2+x-2\leqslant 0\\ x^2-2ax+a^2+x-2=-x^2-x+2 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\\ a\cdot (2x-a)=0 \end{cases} \ \ \ \ \ (I)\\[2ex] &\begin{cases} x\in [-2;1]\\ x^2+(1-a)x+\dfrac{a^2}{2}-2=0 \end{cases} \ \ \ \ (II) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что вся совокупность будет иметь более двух решений в одном из следующих случаев:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет решение \(x\in \mathbb{R}\), а вся система I – решение \(x\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\). Следовательно, и вся совокупность имеет бесконечное множество решений.

 

2) При всех \(a\ne 0\) уравнение \(a\cdot (2x-a)=0\) имеет одно решение \(x=\dfrac{a}{2}\), а вся система I будет иметь 1 решение, если \(\dfrac{a}{2}\in (-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\) (в противном случае система I не будет иметь решений).

 

Система II может иметь 0, 1 или 2 решения. Таким образом, вся совокупность будет иметь более двух решений, когда система I имеет 1 решение, а система II – 2 решения (и все различны).
(обозначим \(f(x)=x^2+(1-a)x+\frac{a^2}{2}-2\)) \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a}{2}<-2\\[1ex] &\dfrac{a}{2}>1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\[1ex] D=9-2a-a^2>0\\[1ex] f(-2)\geqslant 0\\[1ex] f(1)\geqslant 0\\[1ex] -2<-\dfrac{1-a}{2}<1 \ \ ({\small{\text{вершина параболы }}}f(x){\small{\text{ находится в промежутке }}}(-2;1))\\[1ex] f\left(\dfrac{a}{2}\right)\ne 0 \ \ \ ({\small{\text{корень системы I не совпадает ни с одним из корней системы II}}})\\[1ex] a\ne 0 \end{cases}\]

\(\Rightarrow a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).

Ответ:

\(a\in \{0\} \cup (2;-1+\sqrt{10})\).

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \dfrac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\[2ex] x+y-a=0\end{cases}\]

имеет два различных решения.

 

(ЕГЭ 2015, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Преобразуем скобку в числителе дроби: \[y^2-xy+3x-y-6=0 \quad\Leftrightarrow\quad y^2-(x+1)y+3x-6=0\] Дискриминант равен \(D=(x-5)^2\quad\Rightarrow\) \[y_1=\dfrac{x+1+x-5}2=x-2\quad\text{и}\quad y_2=\dfrac{x+1-x+5}2=3.\] Таким образом, всю систему можно записать в виде: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y^2-(x+1)y+3x-6=0\\ &x+2=0\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ 6-x>0\\ x+2\geqslant 0\\ y=-x+a\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ -2\leqslant x<6\\ y=-x+a\end{cases}\]

Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы \(\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=x-2\\ &y=3\\ &x=-2\end{aligned}\end{gathered} \right.\\ -2\leqslant x<6\end{cases}\)  

Рассмотрим рисунок:


 

Зеленым цветом изображен график системы, синим и черным – возможные положения прямой \(y=-x+a\).

 

1) Заметим, что если прямая \(y=-x+a\) находится в положении (1) (проходит через точку \((6;4)\) пересечения \(y=x-2\) и \(x=6\)) и выше, то она имеет только одну точку пересечения с графиком системы.
Между положениями (1) и (2) и в положении (2) (проходит через точку \((6;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=6\)) прямая \(y=-x+a\) имеет две точки пересечения с графиком системы. Найдем соответствующие значения параметра.

 

Положение (1): \(a=10\);
положение (2): \(a=9\).

 

Следовательно, при \(a\in[9;10)\) имеем две точки пересечения.

 

2) Между положениями (2) и (3) – три точки пересечения, а вот в положении (3) (проходит через точку \((5;3)\) пересечения \(y=3\) и \(y=x-2\)) – две точки.
Положение (3): \(a=8\).

 

3) Между положениями (3) и (4) – три точки пересечения, а вот в положении (4) (проходит через точку \((-2;3)\) пересечения \(y=3\) и \(x=-2\)) – две точки.
Положение (4): \(a=1\).

 

4) Между положениями (4) и (5) – две точки пересечения.
Положение (5) – прямая \(y=-x+a\) проходит через точку \((-2;-4)\) пересечения \(x=-2\) и \(y=x-2\), следовательно, \(a=-6\).

 

Следовательно, при \(a\in (-6;1)\) имеем две точки пересечения.

 

Собрав все подходящие значения параметра, получим: \(a\in (-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)\).

Ответ:

\(a\in (-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)\)

1 2 3 4