Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет (страница 4)

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\left(x+\dfrac1{x-a}\right)^2-(a+9)\left(x+\dfrac1{x-a}\right)+2a(9-a)=0\]

будет иметь четыре различных решения.

 

(ЕГЭ 2014, резерв)

Добавить задание в избранное

1) Сделаем замену: \(x+\frac1{x-a}=t\). Полученное уравнение \[t^2-(a+9)t+2a(9-a)=0\] по теореме Виета имеет два (может быть, совпадающих) корня \[t_1=9-a\quad\text{и}\quad t_2=2a.\] Заметим, что для того, чтобы исходное уравнение имело четыре решения, необходимо, чтобы полученное уравнение относительно \(t\) имело два различных решения. Следовательно, \[9-a\ne 2a\quad\Leftrightarrow\quad a\ne 3\]

2) Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x+\dfrac1{x-a}=2a\\[2ex] &x+\dfrac1{x-a}=9-a \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-9x-a^2+9a+1=0\\ &x^2-3ax+2a^2+1=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\x\ne a\end{cases}\]

Следовательно, каждое из двух полученных квадратных уравнений должно иметь два различных корня, не равные \(a\), причем все четыре этих корня должны быть различны.

 

а) Значит, во-первых, у уравнений должны быть положительные дискриминанты: \[\begin{cases} D_1=4a^2-36a+77>0\\ D_2=a^2-4>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;-2)\cup\left(2;\frac72\right)\cup\left(\frac{11}2;+\infty\right)\]

б) Во-вторых, \(x=a\) не должно являться корнем ни одного из двух уравнений, то есть \[\begin{cases} a^2-9a-a^2+9a+1\ne 0\\ a^2-3a^2+2a^2+1\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \mathbb{R}\]

в) В-третьих, ни один корень одного уравнения не должен совпадать ни с одним корнем второго уравнения. Найдем значения \(a\), при которых уравнения имеют одинаковый корень \(x_0\): \[x_0^2-9x_0-a^2+9a+1=x_0^2-3ax_0+2a^2+1\quad\Leftrightarrow\quad (a-3)(x_0-a)=0\] Таким образом, либо \(a\) должно быть равно \(3\) (но это значение параметра мы исключили в 1-ом пункте решения), либо этот общий корень должен быть равен \(a\) (это мы также проверили в б)).

Следовательно, учитывая \(a\ne 3\), получаем окончательный ответ \[a\in (-\infty;-2)\cup(2;3)\cup\left(3;\frac72\right)\cup \left(\frac{11}2;+\infty\right)\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;-2)\cup(2;3)\cup\left(3;\frac72\right)\cup\left(\frac{11}2;+\infty\right)\)

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[(|x+2|+|x-a|)^2-5\cdot (|x+2|+|x-a|)+3a(5-3a)=0\]

имеет ровно два различных решения.

 

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

1) Сделаем замену \(t=|x+2|+|x-a|\). Тогда уравнение примет вид \[t^2-5t+3a(5-3a)=0.\] Получили квадратное уравнение. Для того, чтобы изначальное уравнение относительно \(x\) имело решения, полученное уравнение относительно \(t\) должно иметь решения, то есть его дискриминант должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант: \[D=25-60a+36a^2=(6a-5)^2\geqslant 0.\] Таким образом, дискриминант для любого \(a\) будет неотрицательным. Имеем корни: \[t_1=\dfrac{5+6a-5}2=3a\qquad \text{и}\qquad t_2=\dfrac{5-6a+5}2=5-3a.\]

2) Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &|x+2|+|x-a|=3a\\&|x+2|+|x-a|=5-3a \end{aligned}\end{gathered} \right.\] Оба уравнения в данной совокупности имеют вид: \[|x+2|+|x-a|=t,\]где \(t\) – некоторое выражение, зависящее от \(a\). Исследуем такое уравнение.

 

Заметим, что т.к. модуль всегда неотрицателен, то и сумма двух модулей всегда неотрицательна, то есть слева стоит неотрицательное выражение. Значит, для того, чтобы данное уравнение имело решения, необходимо, чтобы \(t\geqslant 0\). Рассмотрим уравнение в виде: \[|x+2|=t-|x-a|\] Пусть \(y_1=|x+2|, y_2=t-|x-a|\). Тогда график \(y_1\) представляет собой угол с ветвями вверх, вершина которого находится в точке \((-2;0)\), а график \(y_2\) – угол с ветвями вниз, вершина которого находится в точке \((a;t)\) (помним, что \(t\geqslant 0\)).


 

Тогда уравнение будет иметь два решения (то есть две точки пересечения графиков \(y_1\) и \(y_2\)), если вершина угла \(y_2\) находится внутри угла \(y_2\). Одно решение, если вершины углов совпадут (тогда \(a=-2, t=0\)). Бесконечное множество решений (отрезок), если вершина угла \(y_2\) попадет на одну из ветвей угла \(y_1\). Не будет иметь решений, если вершина угла \(y_2\) будет находиться снаружи угла \(y_1\).

 

Рассмотрим интересующий нас случай, когда уравнение имеет два решения. Тогда \(a\) должно находиться между числами \(x_2\) и \(x_1\).
Правая ветвь угла \(y_1\) задается уравнением \(y=x+2\), следовательно, \(t=x_1+2\quad \Rightarrow \quad x_1=t-2\).
Левая ветвь задается уравнением \(y=-x-2\), следовательно, \(t=-x_2-2\quad\Rightarrow\quad x_2=-t-2\).

 

Таким образом, для того, чтобы уравнение имело два решения, необходимо и достаточно:\[\begin{cases} -t-2<a<t-2\\t\geqslant 0\end{cases}\]

3) Заметим, что в нашем случае уравнение не может иметь одно решение, т.к. одновременное выполнение \(a=-2\) и \(t=0\) при \(t=3a\) или \(t=5-3a\) невозможно.

 

Следовательно, вся совокупность из двух уравнений будет иметь два решения тогда и только тогда, когда первое имеет два решения, а второе – ни одного, или наоборот.

 

4) Рассмотрим первое уравнение. \[|x+2|=3a-|x-a|\] Оно имеет два решения, когда:\[\begin{cases} -3a-2<a<3a-2\\3a\geqslant 0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad a>1\] Тогда оно не имеет решений, когда \(a\leqslant 1\).

 

Рассмотрим второе уравнение. \[|x+2|=5-3a-|x-a|\] Оно имеет два решения, когда:\[\begin{cases} -5+3a-2<a<5-3a-2\\5-3a\geqslant 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad a<\dfrac34\] Тогда оно не имеет решений, когда \(a\geqslant \frac34\).

 

5) Таким образом, нужно: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} a>1\\a\geqslant\frac34\end{cases}\\ &\begin{cases} a\leqslant 1\\a<\frac34\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad a\in\left(-\infty;\frac34\right)\cup(1;+\infty).\]

Ответ:

\(\left(-\infty;\frac34\right)\cup(1;+\infty)\)

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\left(\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\right)^2-12a\left(\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\right) +35a^2-6a-9=0\]

имеет два различных решения.

 

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

1) Сделаем замену: \(t=\log_8(x+a)-\log_8(x-a)\), тогда уравнение примет вид \[t^2-12at+35a^2-6a-9=0\] Дискриминант данного уравнения равен \[D=4(a+3)^2\geqslant 0\]Следовательно, уравнение всегда имеет два (быть может, совпадающих) корня \[t_1=\dfrac{12a+2a+6}2=7a+3\qquad\text{и}\qquad t_2=\dfrac{12a-2a-6}2=5a-3.\]

2) Запишем ответ для \(x\) в общем виде. Пусть \(b\) – корень уравнения \(t^2-12at+35a^2-6a-9=0\). Тогда, сделав обратную замену, получаем \[\log_8(x+a)-\log_8(x-a)=b\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \log_8\dfrac{x+a}{x-a}=b\\ x>a\\ x>-a\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left(8^b-1\right)x=a\left(8^b+1\right)\\ x>|a| \end{cases}\]

При \(b=0\) коэффициент \(8^b-1\) перед \(x\) равен нулю, следовательно, уравнение системы примет вид: \(0=2a\). Данное уравнение при \(a=0\) будет иметь бесконечно много решений, при \(a\ne 0\) не будет иметь решений. Следовательно, сама система в каждом случае (после пересечения решения уравнения с ОДЗ \(x>|a|\)) будет иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь решений.
Т.к. случай с бесконечным множеством решений нам не подходит (нам нужно два решения), то \(a\) точно не равно нулю.

 

Таким образом, мы видим, что при каждом фиксированном \(b\) мы получаем либо одно решение для \(x\) (если \(b\ne 0\)): \[x=a\cdot \dfrac{8^b+1}{8^b-1},\] либо ни одного решения для \(x\) (если \(b=0, a\ne 0\)).
Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы \(t_1\ne t_2 \quad \text{и}\quad t_1\ne 0,t_2\ne 0\):\[7a+3\ne 5a-3, \ 7a+3\ne 0, 5a-3\ne 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\ne -3;\ -\dfrac37; \ \dfrac35,\] а также, чтобы полученные корни для \(x\) удовлетворяли ОДЗ \(x>|a|\).

3) Найдем в общем виде условия, при которых корень \(x=a\cdot\dfrac{8^b+1}{8^b-1}\) удовлетворяет ОДЗ \(x>|a|\). \[a\cdot \dfrac{8^b+1}{8^b-1}>|a| \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ \dfrac{8^b+1}{8^b-1}>1\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ \dfrac{8^b+1}{8^b-1}<-1\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ b>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ b<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

4) Подставим наши корни \(t_1=7a+3\) и \(t_2=5a-3\) вместо \(b\):

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ 7a+3>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ 7a+3<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\infty;-\frac37\right)\cup(0;+\infty)\] и \[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases}a> 0\\ 5a-3>0\end{cases}\\ &\begin{cases} a<0\\ 5a-3<0\end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;0)\cup\left(\frac35;+\infty\right).\]

Пересекая данные решения между собой и с \(a\ne -3;\ -\frac37; \ \frac35\) (найденные во 2-ом пункте), получим окончательный ответ \[a\in (-\infty;-3)\cup\left(-3;-\frac37\right)\cup\left(\frac35;+\infty\right).\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;-3)\cup\left(-3;-\frac37\right)\cup\left(\frac35;+\infty\right)\)

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющих неравенству \[4|x+3|+3|x-a|\leqslant \sqrt{16-y^2}+2\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Рассмотрим две функции \(f(x)=4|x+3|+3|x-a|\) и \(h(y)=\sqrt{16-y^2}+2\).

 

Заметим, что при \(x<-3\) модуль \(|x+3|=-x-3\), а при \(x>-3\) модуль \(|x+3|=x+3\). Следовательно, вне зависимости от того, как раскроется модуль \(|x-a|\), при \(x<-3\) коэффициент перед \(x\) у функции \(f(x)\) будет отрицательным (а именно -7 или -1), а при \(x>-3\) он будет положительным (а именно 1 или 7). Следовательно, \(f(x)\) имеет минимум в точке \(x=-3\). Это значит, что \(f(x)\geqslant f(-3)\) при всех \(x\).

 

Так как \(y^2\geqslant 0\) при всех \(y\) и по ОДЗ \(16-y^2\geqslant 0\), то \(\sqrt{0}\leqslant \sqrt{16-y^2}\leqslant \sqrt{16}\), значит, функция \(h(y)\in [2;6]\) при всех \(y\).
Таким образом, если \(f(-3)>6\), то неравенство \(f(x)\leqslant h(y)\) не имеет решений, так как левая часть больше \(6\), а правая – меньше или равна \(6\).
Следовательно, \(f(-3)\leqslant 6\). При этом нам подходит как минимум одна пара чисел: \(x=-3\) и \(y=0\) (Проверьте!).
Так как \(f(-3)=3|-3-a|=3|a+3|\), то получаем: \[3|a+3|\leqslant 6\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-5;-1].\]

Ответ:

\([-5;-1]\)

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \[\begin{cases} (xy^2-xy-6y+6)\sqrt{y+2}=0\\ y=ax \end{cases}\]

имеет ровно три различных решения.

Добавить задание в избранное

Система равносильна системе: \[\begin{cases} y=ax\\ (y-1)(xy-6)\sqrt{y+2}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=ax\\ y\geqslant -2\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=1\\ &xy=6\\ &y=-2 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Заметим, что при \(a=0\) система не имеет решений, следовательно, далее будем предполагать, что \(a\ne 0\).
Наша система равносильна совокупности трех систем: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} y=1\\ x=\dfrac{1}{a} \end{cases}\ \ \ \ \ (I)\\[5pt] &\begin{cases} y=-2\\ x=-\dfrac{2}{a} \end{cases} \ \ \ (II)\\[5pt] &\begin{cases} y\geqslant -2\\ x^2=\dfrac{6}{a}\\ y=ax \end{cases} \ \ \ (III) \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Первые две системы I и II всегда имеют решение, а система III либо имеет 2 решения (если \(a>0\) и оба значения \(y\) не менее -2), либо имеет 1 решение (если \(a>0\), но ровно один из \(y\) меньше -2), либо не имеет решений (при \(a<0\)).

Следовательно, для того, чтобы изначальная система имела 3 различных решения, необходимо выполнение одного из двух случаев:

 

1) система III имеет два решения, но ровно одно из них совпадает с решением системы I или II.

Чтобы система III имела 2 решения, нужно: \(a>0\) и \(-\sqrt{6a} \geqslant -2 \Rightarrow 0<a\leqslant \dfrac{2}{3}\).

 

Тогда этими решениями являются: \(\left(\sqrt{\dfrac{6}{a}}; \sqrt{6a}\right); \left(-\sqrt{\dfrac{6}{a}}; -\sqrt{6a}\right)\). Следовательно: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &1=\sqrt{6a}\\ &-2=-\sqrt{6a} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &a=\dfrac{1}{6}\\ &a=\dfrac{2}{3} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Оба значения параметра удовлетворяют условию \(0<a\leqslant \dfrac{2}{3} \Rightarrow a\in \{\dfrac{1}{6};\dfrac{2}{3}\}\).

 

2) система III имеет 1 решение и оно не совпадает с решениями систем I и II.

Чтобы система III имела 1 решение, нужно: \(a>0\) и \(-\sqrt{6a}<-2 \Rightarrow a>\dfrac{2}{3}\).

Тогда этим решением является: \(\left(\sqrt{\dfrac{6}{a}}; \sqrt{6a}\right)\). Следовательно:

\(\sqrt{6a}\ne 1 \Rightarrow a\ne \dfrac{1}{6}\). Учитывая условие \(a>\dfrac{2}{3}\), получим, что \(a\in \Big(\dfrac{2}{3}; +\infty\big)\).

Ответ:

\(a\in \{\dfrac{1}{6}\}\cup [\frac{2}{3}; +\infty)\).

1 .... 3 4