Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Монотонность функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется возрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)<f(x_2)\).



Функция называется неубывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\leq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)>f(x_2)\).



Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\geq f(x_2)\).



\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а невозрастающие и неубывающие — просто монотонными.

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\)) следует \(f(x_1)=f(x_2)\), и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in [0;+\infty)\), поэтому из равенства \(\sqrt x=\sqrt 4\) следует \(x=4\).

II. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то уравнение \(f(x)=c\), где \(c\) — некоторое число, всегда имеет не более одного решения на \(X\).

Пример: функция \(f(x)=x^2\) является строго убывающей при всех \(x\in (-\infty;0]\), поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\).

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\), поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) — неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \([a;b]\), причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\), то при \(C\in [A;B]\) (\(C\in [B;A]\)) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\), поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt[3]{C}\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x=a+2+2\sin x -5x\]

принадлежит отрезку \(\left[ 0;\dfrac{\pi}{2} \right]\).

Добавить задание в избранное

Перепишем уравнение в виде: \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x=a\]

и рассмотрим функцию \(f(x)=\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x\). Найдем ее производную:

 

\[\begin{aligned} &f'(x)= 5+\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x-2\cos x=5+\cos{2x}-2(\sin x+\cos x)=\\[2ex] &=5+\cos {2x} -2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=5+\cos {2x}-2\sqrt 2 \cdot \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}\]

Т.к. \(-1\leqslant \cos {2x}\leqslant 1, \ \ \ -1\leqslant \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\leqslant 1 \Rightarrow \ \ \ f'(x)\geqslant 4-2\sqrt2>0 \) при всех значениях \(x\).

Следовательно, \(f(x)\) – строго возрастающая функция. Значит, уравнение \(f(x)=a\) может иметь не более одного решения при всех значениях \(a\). Для того, чтобы \(x_o\) являлось решением уравнения, нужно, чтобы \(a=f(x_o)\).

 

Т.к. функция \(f(x)\) – строго возрастает, то если \(x_o\) пробегает отрезок \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), то множеством значений функции \(f(x)\) является отрезок \(\left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\).

 

Таким образом, \(a\in \left[4; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Ответ:

\(a\in \left[ 4; \dfrac{5\pi}{2} \right]\).