Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x=a+2+2\sin x -5x\]
принадлежит отрезку \(\left[ 0;\dfrac{\pi}{2} \right]\).
Перепишем уравнение в виде: \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x=a\]
и рассмотрим функцию \(f(x)=\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x\). Найдем ее производную:
\[\begin{aligned} &f'(x)= 5+\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x-2\cos x=5+\cos{2x}-2(\sin x+\cos x)=\\[2ex] &=5+\cos {2x} -2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=5+\cos {2x}-2\sqrt 2 \cdot \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}\]
Т.к. \(-1\leqslant \cos {2x}\leqslant 1, \ \ \ -1\leqslant \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\leqslant 1 \Rightarrow \ \ \ f'(x)\geqslant 4-2\sqrt2>0 \) при всех значениях \(x\).
Следовательно, \(f(x)\) – строго возрастающая функция. Значит, уравнение \(f(x)=a\) может иметь не более одного решения при всех значениях \(a\). Для того, чтобы \(x_0\) являлось решением уравнения, нужно, чтобы \(a=f(x_0)\).
Т.к. функция \(f(x)\) – строго возрастает, то если \(x_0\) пробегает отрезок \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), то множеством значений функции \(f(x)\) является отрезок \(\left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\).
Таким образом, так как \(f(x)=a\), то \(a\in \left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\), следовательно, \(a\in \left[0; \dfrac{5\pi}{2}-4\right]\).
Ответ:
\(a\in \left[ 0; \dfrac{5\pi}{2} -4\right]\).