Найти все решения уравнения \[\dfrac{ax^2-(2a+3)x+6}{a+3x-6}=0\]
при всех значениях параметра \(a\).
Рассмотрим два случая:
1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид:
\[\dfrac{-3x+6}{3x-6}=0 \Rightarrow \dfrac{3x-6}{3x-6}=0\]
Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях \(x\).
2) \(a\ne 0\). Тогда данное уравнение равносильно системе:
\[\begin{cases} ax^2-(2a+3)x+6=0\\ x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]
Дискриминант первого уравнения \(D=4a^2+12a+9-24a=(2a-3)^2\). Таким образом, \(D\geqslant 0\) при всех \(a\ne 0\), значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):
\[x_1=\dfrac3a; \quad x_2=2\]
Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что \(a\ne 0\)):
2.1) \(x_1=x_2 \Rightarrow a=\dfrac32\). Тогда система равносильна:
\[\begin{cases} x=2\\ x_0\ne \dfrac32 \end{cases} \Rightarrow x=2\]
Таким образом, исходное уравнение при \(a=\dfrac32\) имеет один корень \(x=2\).
2.2) \(x_1\ne x_2 \Rightarrow a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\). В этом случае система равносильна:
\[\begin{cases} x_1=\dfrac3a \quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=2\\[4pt] x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]
Данная система будет иметь один корень, если какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпадет с \(x_0\), и два корня, если ни один из них не совпадет с \(x_0\).
2.2.1)Какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпал с \(x_0\).
Решая уравнение \(x_1=x_0\), получим \(a=3\). Следовательно, при \(a=3\) уравнение имеет один корень \(x=2\).
Решая уравнение \(x_2=x_0\), получим \(a=0\). Но в нашем случае \(a\ne 0\), следовательно, \(x_2\ne x_0\).
2.2.2)Ни один из \(x_1\) или \(x_2\) не совпал с \(x_0\). Значит, при \(a\ne 3\) и \(a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\) система будет иметь два корня: \(x_1=\dfrac3a; x_2=2\).
Ответ:
\(a=0 \Rightarrow x\in\varnothing\\ a\in\{\frac32;3\} \Rightarrow x=2\\ a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;3)\cup(3;+\infty) \Rightarrow x\in\{\frac3a;2\}\)