Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найти все решения уравнения \[\dfrac{ax^2-(2a+3)x+6}{a+3x-6}=0\]

при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение примет вид:

\[\dfrac{-3x+6}{3x-6}=0 \Rightarrow \dfrac{3x-6}{3x-6}=0\]

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях \(x\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} ax^2-(2a+3)x+6=0\\ x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Дискриминант первого уравнения \(D=4a^2+12a+9-24a=(2a-3)^2\). Таким образом, \(D\geqslant 0\) при всех \(a\ne 0\), значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

\[x_1=\dfrac3a; \quad x_2=2\]

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что \(a\ne 0\)):

 

2.1) \(x_1=x_2 \Rightarrow a=\dfrac32\). Тогда система равносильна:

\[\begin{cases} x=2\\ x_0\ne \dfrac32 \end{cases} \Rightarrow x=2\]

Таким образом, исходное уравнение при \(a=\dfrac32\) имеет один корень \(x=2\).

 

2.2) \(x_1\ne x_2 \Rightarrow a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\). В этом случае система равносильна:

\[\begin{cases} x_1=\dfrac3a \quad {\small{\text{или}}}\quad x_2=2\\[4pt] x_0\ne \dfrac{6-a}{3} \end{cases}\]

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпадет с \(x_0\), и два корня, если ни один из них не совпадет с \(x_0\).

 

2.2.1)Какой-то из \(x_1\) или \(x_2\) совпал с \(x_0\).

 

Решая уравнение \(x_1=x_0\), получим \(a=3\). Следовательно, при \(a=3\) уравнение имеет один корень \(x=2\).

 

Решая уравнение \(x_2=x_0\), получим \(a=0\). Но в нашем случае \(a\ne 0\), следовательно, \(x_2\ne x_0\).

 

2.2.2)Ни один из \(x_1\) или \(x_2\) не совпал с \(x_0\). Значит, при \(a\ne 3\) и \(a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\) система будет иметь два корня: \(x_1=\dfrac3a; x_2=2\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in\varnothing\\ a\in\{\frac32;3\} \Rightarrow x=2\\ a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac32)\cup(\frac32;3)\cup(3;+\infty) \Rightarrow x\in\{\frac3a;2\}\)

Задание 9
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решить уравнение \(\log_{a+2}(a^2x)=\log_xx\) при всех значениях параметра \(a\).

Добавить задание в избранное

Запишем ограничения для \(a\): \[\begin{cases} a>-2\\ a\ne -1\\ a\ne 0 \end{cases}\]

При этих условиях исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \log_{a+2}(a^2x)=1\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2x=a+2\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ x\ne 1 \end{cases}\]

Данная система будет иметь решение, если \(\dfrac{a+2}{a^2}\ne 1 \Rightarrow a\ne -1;2\).

В противном случае система не будет иметь решений.

Ответ:

\(a\in(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty) \Rightarrow x=\dfrac{a+2}{a^2}\\ a\in (-\infty;-2]\cup\{-1;0;2\} \Rightarrow x\in\varnothing\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найти, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[\sqrt{x-a}\cdot (a(x^2+1)+a^2x+x)=0\]

имеет единственное решение.

Добавить задание в избранное

Разложим выражение в скобках на множители: \(ax^2+a^2x+a+x=ax(a+x)+(a+x)=(a+x)(ax+1)\).

Тогда исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+a=0 \\ &ax+1=0 \qquad (*)\\ &x-a=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

1) \(a=0 \Rightarrow \) уравнение \((*)\) не имеет решений, а вся система имеет одно решение \(x=0\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-a \\ &x_2=-\dfrac1a \\ &x_3=a \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система всегда имеет как минимум одно решение \(x_3=a\). Значит, для того, чтобы она имела ровно одно решение, необходимо, чтобы корни \(x_1\) и \(x_2\) не удовлетворяли \(x\geqslant a\) или совпадали с \(x_3\):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} -a<a\\-\dfrac1a<a \end{cases}\\ &-a=a=-\dfrac1a \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a>0\\a>0 \end{cases}\\ &a\in\varnothing \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow a>0\]

Ответ:

\(a\in[0;+\infty)\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить уравнение \[\sqrt[3]{(a+x)^2}+4\sqrt[3]{(a-x)^2}=5\sqrt[3]{a^2-x^2}\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение принимает вид

\[\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]{x^2}=5\sqrt[3]{-x^2} \quad \Rightarrow \quad 10\sqrt[3]{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0\]

2) \(a\ne 0\). Заметим, что \(x=a\) не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt[3]{(a-x)^2}\):

\[\sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}+ 4\sqrt[3]{\left(\dfrac{a-x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{(a-x)^2}}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}+ 4=0\]

Полученное уравнение с помощью замены \(\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=t\) сводится к квадратному уравнению \(t^2-5t+4=0\), корнями которого являются \(t=1\) и \(t=4\). Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=1\\[4pt] &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a+x}{a-x}=1\\[4pt] &\dfrac{a+x}{a-x}=64 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\[4pt] &x=\dfrac{63}{65}a \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \ \Rightarrow x\in\{0;\frac{63}{65}a\}\)

\(a\in\{0\} \ \Rightarrow x\in\{0\}\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решением неравенства \[\log_{x^2-3x+2}(a^2x(x-1))>1\]

является луч (может быть, открытый).

Добавить задание в избранное

Данное неравенство равносильно:

\(\log_{x^2-3x+2}(a^2x(x-1))>\log_{x^2-3x+2}(x^2-3x+2) \Rightarrow\quad \) по методу рационализации:  

\[\begin{cases} x^2-3x+2>0\\ x^2-3x+2\ne 1\\ a^2x(x-1)>0\\ (x^2-3x+2-1)(a^2x(x-1)-x^2+3x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ x\ne \dfrac{3\pm \sqrt5}2\\ x\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \qquad (*)\end{cases}\]

Назовем \(x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\) — ОДЗ. Рассмотрим последнее неравенство \((*)\).

 

1) При \(a^2-1=0\) вторая скобка становится линейной и неравенство принимает вид: \[(x^2-3x+1)(x-1)>0 \Rightarrow x\in \left(\dfrac{3-\sqrt5}2;1\right)\cup \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\].

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим ответ \(x\in \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), то есть открытый луч.

 

Значит, значения \(a=-1;1\) нам подходят.

 

2) Пусть \(a^2-1\ne 0 \), а также \(a\ne 0\) (условие из системы).

 

Найдем корни уравнения \((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=0\). \(D=(a^2+1)^2>0\) при любых \(a\).

 

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных корня \(x_1=1; \ x_2=\dfrac2{1-a^2}\).

 

Тогда выражение можно преобразовать:

 

\((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=(a^2-1)(x-\dfrac2{1-a^2})(x-1)=((a^2-1)x+2)(x-1)\).

 

Для того, чтобы решить неравенство \((x^2-3x+1)((a^2-1)x+2)(x-1)>0\), необходимо рассмотреть два случая: когда \(a^2-1>0\) и \(a^2-1<0\) (от этого зависит первый знак в методе интервалов).

 

2.1) \(a^2-1>0\). Тогда \(x_2<0\), следовательно, метод интервалов для данного неравенства выглядит так:


 

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим объединение двух открытых лучей: \(x\in (-\infty;x_2)\cup \left(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), что нам не подходит.

 

2.2) \(a^2-1<0\). Тогда \(x_2>0\). Оценим точнее корень \(x_2\):

 

\(a^2>0 \Rightarrow -a^2<0 \Rightarrow 1-a^2<1\), но в нашем случае также \(a^2-1<0\Rightarrow 1-a^2>0\).

 

Таким образом, \(0<1-a^2<1 \Rightarrow \dfrac2{1-a^2}>2\).

 

Таким образом, корень \(x_2\) может располагаться:

 

а) между \(1\) и \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

б) совпадать с \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

в) быть больше \(\dfrac{3+\sqrt5}2\).

 

Посмотрим, как будет выглядеть метод интервалов в этих случаях:


 

Таким образом, в каждом из случаев а, б, в решение будет выглядеть как интервал или объединение двух интервалов, что после пересечения с ОДЗ не будет лучом. Следовательно, эти случаи нам не подходят.

Ответ:

\(a=\pm 1\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При всех допустимых значениях параметра \(a\) решите неравенство \[\log_{\frac{a}{a+1}}{(x^2-ax)}\leqslant \log_{\frac{a}{a+1}}{(ax-a^2+1)}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Рассмотрим два случая допустимых значений параметра:

 

1) \(\dfrac a{a+1}>1\quad\Leftrightarrow\quad a<-1\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} x^2-ax>0\\ x^2-ax\leqslant ax-a^2+1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(x-a)>0\\ a-1\leqslant x\leqslant a+1 \end{cases}\]

Т.к. \(a<-1\), то решение на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Таким образом, при \(a<-1\) решение \(x\in [a-1;a)\).

 

2) \(0<\dfrac a{a+1}<1\quad\Leftrightarrow\quad a>0\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} ax-a^2+1>0\\ x^2-ax\geqslant ax-a^2+1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x>\dfrac{a^2-1}a\quad \text{т.к. }a>0\\[2ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\geqslant a+1\\ &x\leqslant a-1\end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases}\]

Т.к. положение точки \(\frac{a^2-1}a\) относительно точек \(a-1\) и \(a+1\) не фиксировано, то рассмотрим случаи:

a) \(\frac{a^2-1}a<a-1\quad\Rightarrow\quad 0<a<1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in \left(\frac{a^2-1}a;a-1\right]\cup[a+1;+\infty)\).

 

b) \(\frac{a^2-1}a=a-1\quad\Rightarrow\quad a=1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

c) \(a-1<\frac{a^2-1}a<a+1\quad\Rightarrow\quad a>1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:


 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

d) \(\frac{a^2-1}a\geqslant a+1\quad\Rightarrow\quad a\in \varnothing\), т.к. \(a>0\).

Ответ:

при \(a\in (-\infty;-1) \quad x\in [a-1;a)\)

 

при \(a\in (0;1)\quad x\in \left(\frac{a^2-1}a;a-1\right]\cup[a+1;+\infty)\)

 

при \(a\in [1;+\infty)\quad x\in [a+1;+\infty)\)