Нужно определить, при каких \(a\) данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.
Данное уравнение квадратного типа при всех \(a\) таких, что \(2a-1\ne
0\) (ведь по определению уравнение \(Ax^2+Bx+C=0\) квадратное, если \(A\ne 0\)). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.
1) Пусть \(2a-1=0\), то есть \(a=0,5\). Тогда уравнение принимает вид \(1,5x+1,5=0\). Решением данного уравнения будет \(x=-1\). Следовательно, при \(a=0,5\) уравнение имеет единственное решение \(x=-1\).
2) Пусть \(2a-1\ne 0\), то есть \(a\ne 0,5\). Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).
Найдем дискриминант: \(D=(3a)^2-4(2a-1)(5a-1)=-31a^2+28a-4\).
I. Итак, если \(D<0\), то уравнение не имеет решений: \[-31a^2+28a-4<0\quad\Rightarrow\quad
31\left(a-\dfrac{14+6\sqrt2}{31}\right)\left(a-\dfrac{14-6\sqrt2}{31}\right)>0\]
Решением данного неравенства будут \(a\in
\left(-\infty;\frac{14-6\sqrt2}{31}\right)\cup\left(\frac{14+6\sqrt2}{31};
+\infty\right)\). При этих значениях \(a\) уравнение не имеет решений.
II. Если \(D=0\), то есть \(a=\frac{14\pm6\sqrt2}{31}\), то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) с \(D=0\) корень можно искать по формуле абсциссы вершины: \[x_0=\dfrac{-B}{2A}\quad\Rightarrow\quad x_0=\dfrac{-3a}{2(2a-1)}\qquad \text{(в нашем
случае)}\] При \(a=\frac{14+6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{-3(14+6\sqrt2)}{2(12\sqrt2-3)}\] При \(a=\frac{14-6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{3(14-6\sqrt2)}{2(12\sqrt2+3)}\]
III. Если \(D>0\), то есть \(a\in
\left(\frac{14-6\sqrt2}{31};\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\), то уравнение имеет два решения: \[x=\dfrac{-3a\pm \sqrt{-31a^2+28a-4}}{2(2a-1)}\] Учитывая, что \(a\ne 0,5\), то получаем \(a\in
\left(\frac{14-6\sqrt2}{31};0,5\right)\cup\left(0,5;\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\).
Важно не забыть, что случай 2 рассматривается при \(a\ne
0,5\), то есть в подслучаях I, II, III мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.
Ответ:
\(a=0,5 \ \Rightarrow \ x=-1\);
\(a=\frac{14+6\sqrt2}{31} \ \Rightarrow \
x=\frac{-3(14+6\sqrt2)}{2(12\sqrt2-3)}\);
\(a=\frac{14-6\sqrt2}{31} \ \Rightarrow \
x=\frac{3(14-6\sqrt2)}{2(12\sqrt2+3)}\);
\(a\in
\left(-\infty;\frac{14-6\sqrt2}{31}\right)\cup\left(\frac{14+6\sqrt2}{31};
+\infty\right) \ \Rightarrow \ x\in \varnothing\);
\(a\in
\left(\frac{14-6\sqrt2}{31};0,5\right)\cup\left(0,5;\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)
\ \Rightarrow \ x=\frac{-3a\pm \sqrt{-31a^2+28a-4}}{2(2a-1)}\)