Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач алгебраическим способом (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких \(a\) имеет решения система

\[\begin{cases} 3^{2x+y}+3^{x+3y}=3\\ 3^y+\left(\frac13\right)^{3x+3y}=3^{a-2x} \end{cases}\]

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену переменных: \(3^x=m, \ 3^y=n\). Тогда \(m,n>0\). А также для удобства заменим \(3^a\) на \(b>0\). Значит, необходимо найти те положительные \(b\), при которых новая система

\[\begin{cases} m^2n+mn^3=3\\[2ex] n+\dfrac1{m^3n^3}=\dfrac b{m^2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} m^2n+mn^3=3\\ m^3n^4-bmn^3+1=0 \end{cases}\quad \text{(т.к. }m,n\ne 0)\]

 

имеет положительные решения.

 

Сделаем еще одну замену: \(\beta=m^2n, \ \alpha=mn^3, \quad \alpha, \beta>0\):

\[\begin{cases} \alpha+\beta=3\\ \alpha \beta -b\alpha+1=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \beta=3-\alpha\\ \alpha^2+(b-3)\alpha-1=0 \end{cases}\]

Второе уравнение системы имеет дискриминант \(D=(b-3)^2+4>0\) при всех \(b\). Значит, второе уравнение всегда имеет 2 корня. Заметим, что по теореме Виета произведение этих корней равно \(-1\), значит, они разных знаков. Таким образом, всегда существует единственный \(\alpha_1>0\):

\[\alpha_1=\dfrac{3-b+\sqrt{(3-b)^2+4}}{2}\]

Значит, \(\beta_1=3-\alpha_1=\dfrac{3+b-\sqrt{(3-b)^2+4}}2\). Необходимо, чтобы и \(\beta_1\) был положительным. Таким образом:

\[\dfrac{3+b-\sqrt{(3-b)^2+4}}2>0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(3-b)^2+4}<3+b \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3+b>0\\ (3-b)^2+4>0\\ (3-b)^2+4<(3+b)^2 \end{cases}\]

Т.к. \(b>0\), то и \(3+b>0\), а второе неравенство выполнено всегда (об этом говорилось выше). Значит, данная система равносильна неравенству

\[(3-b)^2+4<(3+b)^2 \quad \Leftrightarrow \quad b>\dfrac13\]

Перейдем к \(a\): \(3^a>3^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad a>-1\).

 

При этих значениях \(a\) оба числа \(\alpha_1\) и \(\beta_1\) положительны. Можно найти само решение системы:

\[\begin{cases} n=\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\\[2ex] m=\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3^y=\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\\[2ex] 3^x=\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=\log_3\left(\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\right)\\[2ex] x=\log_3\left(\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}}\right) \end{cases}\]

Ответ:

\(a\in (-1;+\infty)\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) система

\[\begin{cases} axy+x-y+\frac32=0\\ x+2y+xy+1=0 \end{cases}\]

имеет ровно одно решение.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим второе уравнение системы:

\[x+2y+xy+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad (1+y)x=-(1+2y)\]

Заметим, что при \(y=-1\) данное уравнение принимает вид: \(0\cdot x=1\), то есть не имеет решений. Следовательно, для всей системы \(y=-1\) не является решением. Тогда второе уравнение можно переписать в виде

\[x=-\dfrac{1+2y}{1+y}\]

и подставить это значение для \(x\) в первое уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

\[2(2a+1)y^2+(2a+3)y-1=0 \qquad (*)\]

Для того, чтобы вся система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы полученное уравнение \((*)\) относительно \(y\) имело ровно одно решение, причем не равное \(-1\).

 

1) Рассмотрим случай, когда уравнение \((*)\) обращается в линейное, то есть когда \(2a+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=-\frac12\).

 

Тогда уравнение принимает вид \(2y-1=0\), откуда \(y=\frac12\), следовательно, \(x=-\frac43\). Таким образом, данное значение параметра нам подходит.

 

2) При всех \(a\) таких, что \(2a+1\ne 0\), уравнение \((*)\) является квадратным. Рассмотрим его дискриминант:

\[D=(2a+3)^2+4\cdot 2(2a+1)=4a^2+28a+17\]

Рассмотрим случай, когда \(D=0\), то есть \(4a^2+28a+17=0\). Решая это квадратное уравнение, получаем \(a_1=-3,5- 2\sqrt2\), \(a_2=-3,5+2\sqrt2\) (заметим, что эти значения параметра подходят под условие \(2a+1\ne 0\)). При этих значениях параметра уравнение \((*)\) имеет одно решение: при \(a_1\) это \(y=\frac{1-\sqrt2}2\); при \(a_2\) это \(y=\frac{1+\sqrt2}2\).
Оба значения \(y\) не равны \(-1\), то есть подходят в первое уравнение. Значит, эти значения параметра \(a\) нам подходят.

 

3) При всех значениях параметра, при которых \(2a+1\ne0\) и \(D>0\). То есть \(a\in \left(-\infty;-3,5-2\sqrt2\right)\cup (-3,5+2\sqrt2; -0,5)\cup(-0,5;+\infty)\).

 

Т.к. \(D>0\), то уравнение \((*)\) всегда имеет два различных корня.
Таким образом, если один из корней будет равен \(-1\) (который нам не подходит), то вся система снова будет иметь единственное решение. Найдем значения \(a\), при которых уравнение \((*)\) имеет корень \(y=-1\). Это значит, что при подстановке числа \(-1\) в данное уравнение оно должно обращаться в верное равенство, то есть

\[2(2a+1)\cdot (-1)^2+(2a+3)\cdot (-1)-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=1\]

Это значение параметра подходит под условие \(a\in \left(-\infty;-3,5-2\sqrt2\right)\cup (-3,5+2\sqrt2; -0,5)\cup(-0,5;+\infty)\).

 

Можно сделать проверку: при \(a=1\) уравнение \((*)\) принимает вид \(6y^2+5y-1=0\) и действительно имеет корни \(y_1=-1\), \(y_2=\frac16\).
\(y_1\) нам не подходит, а при \(y_2=\frac16\) получаем \(x=-\frac87\).

 

Таким образом, ответ: \(a\in \{-3,5-2\sqrt2;-3,5+2\sqrt2;-\frac12;1\}\).

Ответ:

\(a\in \{-3,5-2\sqrt2;-3,5+2\sqrt2;-0,5;1\}\)