Решение задач алгебраическим способом (страница 2)

Рассмотрим второе уравнение системы. По теореме Виета корнями будут \(x=a\) и \(x=a-2\).
Заметим, что первое уравнение не зависит от \(a\). Решим его, раскрыв модули.

1) Если \(x\leqslant 0\), то уравнение примет вид \[x^2-5x+4-9x^2-5x+4-10x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-1; \ x=\dfrac49\] Так как \(x\leqslant 0\), то подходит \(x=-1\).

2) Если \(0<x<1\) или \(x>4\), то \[x^2-5x+4-9x^2-5x+4+10x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=1; \ x=4\] Видим, что ни один из корней не подходит.

3) Если \(1\leqslant x\leqslant 4\), то \[-x^2+5x-4-9x^2-5x+4+10x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \mathbb{R}\] Следовательно, \(x\in [1;4]\).
Таким образом, решение первого уравнения: \(x\in \{-1\}\cup[1;4]\).
Значит, исходная система равносильна: \[\begin{cases} x\in \{-1\}\cup[1;4]\\ x\in \{a-2;a\}\end{cases}\] Для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы хотя бы один из \(x\in \{a-2;a\}\) удовлетворял \(x\in \{-1\}\cup[1;4]\). То есть \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a-2=-1\\ &a=-1\\ &1\leqslant a-2\leqslant 4\\ &1\leqslant a\leqslant 4\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad a\in \{-1\}\cup[1;6]\]

Ответ:

\(a\in \{-1\}\cup[1;6]\)

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x=2\).
Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять \(2-x\geqslant 0\).

Решим \(4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2=0\). Если сделать замену \(2^x=t\) (причем \(t>0\)), то уравнение примет вид \(t^2-3t+a(3-a)=0\). По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут \(t_1=a\) и \(t_2=3-a\).
То есть \(2^x=a\) и \(2^x=3-a\). Заметим, что если, например, \(a\leqslant 0\), то уравнение \(2^x=a\) не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение \(x=\log_2a\).
Число \(x=2\) будет являться решением \(2^x=a\) (или \(2^x=3-a\)), если \(a=4\) (или \(3-a=4\)).

Таким образом, исходное уравнение \[(4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2)\cdot \sqrt{2-x}=0\] будет иметь два различных корня в случаях:

1) \(a\ne 3-a\). Один из \(a\) или \(3-a\) окажется \(\leqslant 0\) (тем самым мы получим противоречие с \(t>0\)) или \(\geqslant 4\) (тогда при \(>4\) он не будет удовлетворять условию \(2-x\geqslant 0\), а при \(=4\) будет совпадать с уже имеющимся корнем \(x=2\)), а другой будет \(>0\) и \(<4\).
Это условие задается совокупностью: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \left[\begin{gathered} a\leqslant 0\\ a\geqslant 4\end{gathered}\right.\\0<3-a<4\end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} \left[\begin{gathered} 3-a\leqslant 0\\ 3-a\geqslant 4\end{gathered}\right.\\0<a<4\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением совокупности будут: \[a\in (-1;0]\cup[3;4)\]

2) \(a=3-a\), \(a>0\) и \(a<4\). Следовательно, \(a=1,5\).

Итоговый ответ: \[a\in (-1;0]\cup\{1,5\}\cup[3;4)\]

Ответ:

\(a\in (-1;0]\cup\{1,5\}\cup[3;4)\)

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю, тогда уравнение примет вид \[\dfrac{x^2-2x+a}{x^3-9a^2x}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x-1)^2+a-1}{x(x-3a)(x+3a)}=0\] Заметим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. А уравнение \((x-1)^2=1-a\) имеет корни тогда и только тогда, когда \(1-a\geqslant 0\). Следовательно, уже можно сказать, что при \(1-a<0\) уравнение не будет иметь решений.
Пусть \(1-a\geqslant 0\). Тогда уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} (x-1)^2=1-a\\ x\ne 0\\ x\ne 3a\\ x\ne -3a\end{cases}\] Назовем последние три уравнения системы ОДЗ.
Рассмотрим два случая:

1) \(1-a=0\). Тогда первое уравнение системы имеет единственное решение \(x=1\). Заметим, что этот корень подходит под ОДЗ.

2) \(1-a>0\). Тогда первое уравнение системы имеет два корня: \(x_1=1-\sqrt{1-a}\) и \(x_2=1+\sqrt{1-a}\). Заметим, что оба эти корня симметричны относительно \(1\) (причем \(x_1<1, \ x_2>1\)).
Следовательно, чтобы вся система имела ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один из этих корней не подходил под ОДЗ.

Рассмотрим отдельно случай, когда \(a=0\). Тогда ОДЗ: \(x\ne 0\), а \(x_1=1-\sqrt1=0\), \(x_2=2\). Этот случай нам подходит.

Пусть теперь \(a\ne 0\). Тогда нужно, чтобы:
I. \(x_1=3a\). Тогда ввиду симметричности корней \(x_2=2-3a\ne -3a\). То есть уравнение будет иметь корень \(x_2\).
II. \(x_1=-3a\quad\Rightarrow\quad x_2=2+3a\ne 3a\). То есть уравнение будет иметь корень \(x_2\).
III. \(x_2=3a\quad\Rightarrow\quad x_1=2-3a\ne -3a\). То есть уравнение будет иметь корень \(x_1\).
IV. \(x_2=-3a\quad\Rightarrow\quad x_1=2+3a\ne 3a\). То есть уравнение будет иметь корень \(x_1\).

Таким образом: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 1-\sqrt{1-a}=3a\\ & 1-\sqrt{1-a}=-3a\\ & 1+\sqrt{1-a}=3a\\ & 1+\sqrt{1-a}=-3a\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Первые два уравнения совокупности, учитывая, что \(a\ne 0\), не имеют решений, а третье и четвертое имеют решения \(a=\frac59\) и \(a=-\frac79\).

Оба эти значения подходят под условие \(1-a>0\).

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in \left\{-\dfrac79; 0; \dfrac59; 1\right\}\]

Ответ:

\(\left\{-\frac79; 0; \frac59; 1\right\}\)

Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), то уравнение равносильно \[|1-\sin^2x+2\sin x-2a|=1-\sin^2x+\sin x+2a\] Сделаем замену: \(t=\sin x\). Тогда если нам было нужно, чтобы уравнение имело один корень \(x\) на промежутке \(\left[-\dfrac{\pi}2;0\right)\), то новое уравнение должно иметь один корень \(t\) на промежутке \([-1;0)\). \[|1-t^2+2t-2a|=1-t^2+t+2a\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 1-t^2+t+2a\geqslant 0\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &1-t^2+2a-2a=1-t^2+t+2a\\ &1-t^2+2t-2a=-(1-t^2+t+2a) \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} t^2-t-1-2a\leqslant 0\qquad (*)\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t_1=4a\\[1ex] &t_2=-\dfrac12\\[1ex] &t_3=2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases}\] Заметим, что корень \(t_3\) не удовлетворяет условию (не лежит в \([-1;0)\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело один корень на \([-1;0)\), нужно, чтобы: 1) подходил корень \(t_2\) и не подходил корень \(t_1\) (или совпадал с \(t_2\)); 2) подходил корень \(t_1\) и не подходил корень \(t_2\).
Рассмотрим эти случаи.

1) Чтобы подходил \(t_2\), он должен удовлетворять неравенству \((*)\). Чтобы не подходил \(t_1\), он должен либо не принадлежать \([-1;0)\), либо совпадать с \(t_2\), либо не удовлетворять \((*)\). Таким образом, получаем: \[\begin{cases} \dfrac14+\dfrac12-1-2a\leqslant 0\\[2ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & 4a<-1\\ &4a\geqslant 0\\[1ex] &4a=-\dfrac12\\[1ex] &16a^2-4a-1-2a>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \left\{-\dfrac18\right\}\cup[0;+\infty)\]

2) Чтобы подходил \(t_1\), он должен принадлежать \([-1;0)\) и удовлетворять \((*)\). Чтобы не подходил \(t_2\), он должен не удовлетворять \((*)\) и не совпадать с \(t_1\): \[\begin{cases} -1\leqslant 4a<0\\ 16a^2-6a-1\leqslant 0\\[1ex] \dfrac14+\dfrac12-1-2a> 0\\[1ex] 4a\ne -\dfrac12\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\]

Ответ:

\(\left\{-\frac18\right\}\cup[0;+\infty)\)

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Т.к. сумма двух неотрицательных чисел – число неотрицательное, то она будет равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

\[\begin{cases} \dfrac{(a-1)x-(2a-1)}{x-1}=0\\ x-|1-a|+\dfrac12=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a-1)x-(2a-1)=0 \\ x-1\ne 0\\ x=|1-a|-\dfrac12 \end{cases}\]

Рассмотрим первое уравнение: \((a-1)x-(2a-1)=0\). При \(a-1=0\) уравнение равносильно \(0=1\), что не выполнено ни при каких \(x\). Следовательно, и вся система при \(a=1\) не имеет решений.

Рассмотрим случай, когда \(a \ne 1\).

\[\begin{cases} x=\dfrac{2a-1}{a-1}\\ x\ne 1\\ x=|1-a|-\dfrac12 \end{cases}\]

Для того, чтобы данная система, а значит и исходное уравнение, имела только положительные решения (\(x>0\)), достаточно потребовать:

\[\begin{cases} \dfrac{2a-1}{a-1}=|1-a|-\dfrac12\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}>0\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{2a-1}{a-1}=|1-a|-\dfrac12\\[10pt] \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &a<\dfrac12\\ &a>1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ a\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a<\dfrac12\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}=|1-a|-\dfrac12\\ a\ne 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} a>1\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}=|1-a|-\dfrac12 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Рассмотрим два случая: когда модуль раскрывается положительным (\(1-a\geqslant 0 \Rightarrow a\leqslant 1\)) и когда отрицательным (\(a-1<0 \Rightarrow a>1\)). Следовательно, в первой системе модуль раскроется положительным, а во второй – отрицательным:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a<\dfrac12\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}=1-a-\dfrac12\\ a\ne 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} a>1\\[10pt] \dfrac{2a-1}{a-1}=-(1-a)-\dfrac12 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-1\\ &x=\dfrac{9+\sqrt{41}}4 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Ответ:

\(\left\{-1;\dfrac{9+\sqrt{41}}4\right\}\)

Уравнение можно переписать в виде: \[(3x-1)\cdot \left(\ln(3x+a)-\ln (4x-a)\right)=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\ln (3x+a)=\ln (4x-a)\\ &3x-1=0\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ 3x+a>0\\ 4x-a>0\end{cases}\]Из первого уравнения совокупности находим корень \(x_1=2a\). Из второго уравнения находим корень \(x_2=\frac13\).
Число \(x_1\) будет являться корнем системы, принадлежащим отрезку \([0;1]\), (а значит, и исходного уравнения), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\), а также условию \(0\leqslant 2a\leqslant 1\). Следовательно, при \(0<a\leqslant 0,5\) число \(x_1\) будет являться корнем исходного уравнения.
Число \(x_2\) будет являться корнем исходного уравнения, принадлежащим отрезку \([0;1]\), если будет удовлетворять условиям \(3x+a>0\) и \(4x-a>0\) (заметим, что \(x_2=\frac13\) уже лежит на отрезке \([0;1]\), то есть это условие проверять не нужно), то есть при \(-1<a<\frac43\).
Совпадать корни \(x_1\) и \(x_2\) будут при \(a=\frac16\) (видим, что это значение \(a\) нам подходит).

Если корни не совпадают (значит, \(a\ne \frac16\)), то нам нужно, чтобы корнем исходного уравнения был либо \(x_1\), либо \(x_2\). То есть если \(x_1\) – корень, то \(x_2\) не должен быть корнем, и наоборот.
\(x_1\) будет корнем при \(0<a\leqslant 0,5\), \(x_2\) не будет корнем при \(a\leqslant -1\) или \(a\geqslant \frac43\). Следовательно: \[\begin{cases} 0<a\leqslant 0,5\\ a\in (-\infty;-1]\cup\left[\frac43;+\infty\right)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\] Если \(x_2\) – корень, а \(x_1\) – нет, то \[\begin{cases} a\in (-\infty;0]\cup(0,5;+\infty)\\[2ex] -1<a<\dfrac43\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-1;0]\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Таким образом, окончательный ответ: \[a\in (-1;0]\cup\left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\dfrac43\right)\]

Ответ:

\((-1;0]\cup \left\{\frac16\right\}\cup\left(0,5;\frac43\right)\)

Распишем второе уравнение как \(x(1+y)+2(y+1)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad (y+1)(x+2)=1\).
Из данного равенства мы видим, что \(x\ne -2, y\ne -1\).
Выразим \(y=\frac1{x+2}-1\) и подставим в первое уравнение: \[\dfrac{2(1-a)x^2+(9-2a)x+8}{x+2}=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 2(1-a)x^2+(9-2a)x+8=0\\ x\ne -2\end{cases}\quad (*)\]

1) Если \(a=1\), то первое уравнение системы \((*)\) становится линейным и \(x=-\frac87\ne -2\). Следовательно, вся система \((*)\), а значит и исходная система, имеет единственное решение.

2) Пусть \(a\ne 1\). Тогда первое уравнение системы \((*)\) квадратное. Для того, чтобы оно имело решения, нужно, чтобы дискриминант \(D\geqslant 0\): \[4a^2+28a+17\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad a\in \left(-\infty;\dfrac{-7-4\sqrt2}2\right]\cup\left[\dfrac{-7+4\sqrt2}2; +\infty\right)\]

2.1) Заметим, что если первое уравнение системы \((*)\) имеет одно решение, то есть \(D=0\), то этот корень не должен быть равен \(-2\). Проверим это.
Если уравнение имеет одно решение, то \(a=\dfrac{-7\pm4\sqrt2}2\) и это решение равно \[x_0=-\dfrac{9-2a}{4(1-a)}\] Найдем, при каких \(a\) \(x_0=-2\): \[-\dfrac{9-2a}{4(1-a)}=-2\quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac16\] Видим, что \(-\dfrac16\ne\dfrac{-7\pm4\sqrt2}2\). Следовательно, при \(a=\dfrac{-7\pm4\sqrt2}2\) первое уравнение системы \((*)\) имеет одно решение, не равное \(-2\), следовательно, и исходная система имеет одно решение.

2.2) Если первое уравнение имеет два решения, то есть \[a\in \left(-\infty;\dfrac{-7-4\sqrt2}2\right)\cup\left(\dfrac{-7+4\sqrt2}2; +\infty\right)\quad (**),\] то одно из этих решений должно быть равно \(-2\) (тогда система \((*)\) будет иметь ровно одно решение, следовательно, и исходная система будет иметь одно решение).
Найдем, при каких \(a\) первое уравнение имеет корень \(x=-2\): \[2(1-a)\cdot 4+(9-2a)\cdot (-2)+8=0\quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac12\] Это значение параметра входит во множество \((**)\). Следовательно, если первое уравнение имеет два (различных) корня (то есть при \(a\) из множества \((**)\)), то лишь при \(a=-0,5\) один из корней будет равен \(-2\). Следовательно, система \((*)\) будет иметь одно решение, значит, и исходная система будет иметь одно решение.

Таким образом, система будет иметь единственное решение при \[a\in \left\{\dfrac{-7\pm4\sqrt2}2\right\}\cup\{-0,5\}\cup\{1\}\]

Ответ:

\(a\in \left\{\dfrac{-7\pm4\sqrt2}2\right\}\cup\{-0,5\}\cup\{1\}\)