Решение задач алгебраическим способом (страница 3)

Сделаем замену переменных: \(3^x=m, \ 3^y=n\). Тогда \(m,n>0\). А также для удобства заменим \(3^a\) на \(b>0\). Значит, необходимо найти те положительные \(b\), при которых новая система

\[\begin{cases} m^2n+mn^3=3\\[2ex] n+\dfrac1{m^3n^3}=\dfrac b{m^2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} m^2n+mn^3=3\\ m^3n^4-bmn^3+1=0 \end{cases}\quad \text{(т.к. }m,n\ne 0)\]

имеет положительные решения.

Сделаем еще одну замену: \(\beta=m^2n, \ \alpha=mn^3, \quad \alpha, \beta>0\):

\[\begin{cases} \alpha+\beta=3\\ \alpha \beta -b\alpha+1=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \beta=3-\alpha\\ \alpha^2+(b-3)\alpha-1=0 \end{cases}\]

Второе уравнение системы имеет дискриминант \(D=(b-3)^2+4>0\) при всех \(b\). Значит, второе уравнение всегда имеет 2 корня. Заметим, что по теореме Виета произведение этих корней равно \(-1\), значит, они разных знаков. Таким образом, всегда существует единственный \(\alpha_1>0\):

\[\alpha_1=\dfrac{3-b+\sqrt{(3-b)^2+4}}{2}\]

Значит, \(\beta_1=3-\alpha_1=\dfrac{3+b-\sqrt{(3-b)^2+4}}2\). Необходимо, чтобы и \(\beta_1\) был положительным. Таким образом:

\[\dfrac{3+b-\sqrt{(3-b)^2+4}}2>0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(3-b)^2+4}<3+b \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3+b>0\\ (3-b)^2+4>0\\ (3-b)^2+4<(3+b)^2 \end{cases}\]

Т.к. \(b>0\), то и \(3+b>0\), а второе неравенство выполнено всегда (об этом говорилось выше). Значит, данная система равносильна неравенству

\[(3-b)^2+4<(3+b)^2 \quad \Leftrightarrow \quad b>\dfrac13\]

Перейдем к \(a\): \(3^a>3^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad a>-1\).

При этих значениях \(a\) оба числа \(\alpha_1\) и \(\beta_1\) положительны. Можно найти само решение системы:

\[\begin{cases} n=\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\\[2ex] m=\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3^y=\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\\[2ex] 3^x=\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y=\log_3\left(\sqrt[5]{\dfrac{\alpha_1^2}{\beta_1}}\right)\\[2ex] x=\log_3\left(\sqrt[5]{\dfrac{\beta_1^3}{\alpha_1}}\right) \end{cases}\]

Ответ:

\(a\in (-1;+\infty)\)

Рассмотрим второе уравнение системы:

\[x+2y+xy+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad (1+y)x=-(1+2y)\]

Заметим, что при \(y=-1\) данное уравнение принимает вид: \(0\cdot x=1\), то есть не имеет решений. Следовательно, для всей системы \(y=-1\) не является решением. Тогда второе уравнение можно переписать в виде

\[x=-\dfrac{1+2y}{1+y}\]

и подставить это значение для \(x\) в первое уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

\[2(2a+1)y^2+(2a+3)y-1=0 \qquad (*)\]

Для того, чтобы вся система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы полученное уравнение \((*)\) относительно \(y\) имело ровно одно решение, причем не равное \(-1\).

1) Рассмотрим случай, когда уравнение \((*)\) обращается в линейное, то есть когда \(2a+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=-\frac12\).

Тогда уравнение принимает вид \(2y-1=0\), откуда \(y=\frac12\), следовательно, \(x=-\frac43\). Таким образом, данное значение параметра нам подходит.

2) При всех \(a\) таких, что \(2a+1\ne 0\), уравнение \((*)\) является квадратным. Рассмотрим его дискриминант:

\[D=(2a+3)^2+4\cdot 2(2a+1)=4a^2+28a+17\]

Рассмотрим случай, когда \(D=0\), то есть \(4a^2+28a+17=0\). Решая это квадратное уравнение, получаем \(a_1=-3,5- 2\sqrt2\), \(a_2=-3,5+2\sqrt2\) (заметим, что эти значения параметра подходят под условие \(2a+1\ne 0\)). При этих значениях параметра уравнение \((*)\) имеет одно решение: при \(a_1\) это \(y=\frac{1-\sqrt2}2\); при \(a_2\) это \(y=\frac{1+\sqrt2}2\).
Оба значения \(y\) не равны \(-1\), то есть подходят в первое уравнение. Значит, эти значения параметра \(a\) нам подходят.

3) При всех значениях параметра, при которых \(2a+1\ne0\) и \(D>0\). То есть \(a\in \left(-\infty;-3,5-2\sqrt2\right)\cup (-3,5+2\sqrt2; -0,5)\cup(-0,5;+\infty)\).

Т.к. \(D>0\), то уравнение \((*)\) всегда имеет два различных корня.
Таким образом, если один из корней будет равен \(-1\) (который нам не подходит), то вся система снова будет иметь единственное решение. Найдем значения \(a\), при которых уравнение \((*)\) имеет корень \(y=-1\). Это значит, что при подстановке числа \(-1\) в данное уравнение оно должно обращаться в верное равенство, то есть

\[2(2a+1)\cdot (-1)^2+(2a+3)\cdot (-1)-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=1\]

Это значение параметра подходит под условие \(a\in \left(-\infty;-3,5-2\sqrt2\right)\cup (-3,5+2\sqrt2; -0,5)\cup(-0,5;+\infty)\).

Можно сделать проверку: при \(a=1\) уравнение \((*)\) принимает вид \(6y^2+5y-1=0\) и действительно имеет корни \(y_1=-1\), \(y_2=\frac16\).
\(y_1\) нам не подходит, а при \(y_2=\frac16\) получаем \(x=-\frac87\).

Таким образом, ответ: \(a\in \{-3,5-2\sqrt2;-3,5+2\sqrt2;-\frac12;1\}\).

Ответ:

\(a\in \{-3,5-2\sqrt2;-3,5+2\sqrt2;-0,5;1\}\)

Алгебраический способ решения.

Данное уравнение равносильно \[2|x-a|=x^2-4x+a+2\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2-4x+a+2\geqslant 0\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2(x-a)=x^2-4x+a+2\\ &2(x-a)=-(x^2-4x+a+2)\end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} x^2-6x+2+3a=0\qquad (1)\\ x-a\geqslant 0\end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} x^2-2x+2-a=0\qquad (2)\\ x-a\leqslant 0\end{cases}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что если оба дискриминанта уравнений \((1)\) и \((2)\) отрицательны, то совокупность не будет иметь решений. Рассмотрим следующие случаи (\(D_1\) и \(D_2\) — дискриминанты уравнений \((1)\) и \((2)\) соответственно):

1) \(D_1=0\), следовательно, \(a=\frac73\). Тогда 1-ое уравнение имеет единственный корень \(x=3\), который подходит под условие \(x\geqslant \frac73\). При \(a=\frac73\) дискриминант \(D_2>0\), следовательно, 2-ое уравнение имеет два корня \(x=1\pm \frac{2\sqrt3}3\). Заметим, что оба этих корня подходят под условие \(x\leqslant \frac73\). Следовательно, вся совокупность имеет три решения. Этот случай нам не подходит.

2) \(D_2=0\), следовательно, \(a=1\). Тогда 2-ое уравнение имеет единственный корень \(x=1\), который подходит под условие \(x\leqslant 1\). При \(a=1\) дискриминант \(D_1>0\), следовательно, 1-ое уравнение имеет два корня \(x=5\) и \(x=1\), причем оба подходят под условие \(x\geqslant 1\). Но, учитывая, что один из корней 1-ого уравнения совпал с корнем 2-ого уравнения, совокупность будет иметь два решения: \(x=1\) и \(x=5\). Следовательно, этот случай нам подходит.

Мы рассмотрели случаи, когда один из дискриминантов равен нулю, теперь рассмотрим оставшиеся случаи, которые нам могут подойти.

3) \(D_1>0\) и \(D_2<0\). Тогда \(a<1\). Следовательно, 1-ое уравнение имеет два корня \(x=3\pm \sqrt{7-3a}\), 2-ое уравнение не имеет корней. Для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы оба получившиеся корня удовлетворяли условию \(x\geqslant a\). Для этого достаточно, чтобы меньший корень удовлетворял этому условию: \[3-\sqrt{7-3a}\geqslant a\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 3-a\geqslant 0\\ 7-3a\leqslant (3-a)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;1]\cup[2;3]\] Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда \(a<1\), получаем итоговые подходящие значения для \(a\): \[a<1\]

4) \(D_1<0\) и \(D_2>0\). Тогда \(a>\frac73\). Следовательно, 1-ое уравнение не имеет корней, а 2-ое имеет два корня \(x=1\pm \sqrt{a-1}\). Аналогично: для того, чтобы совокупность имела два решения, эти корни должны удовлетворять условию \(x\leqslant a\), то есть больший корень должен удовлетворять этому условию: \[1+\sqrt{a-1}\leqslant a\quad\Rightarrow\quad a\in \{1\}\cup[2;+\infty)\] Учитывая, что в нашем случае \(a>\frac73\), получаем подходящие значения для \(a\): \[a>\dfrac73\]

5) \(D_1>0\) и \(D_2>0\). Тогда \(1<a<\frac73\). Следовательно, оба уравнения имеют по два корня.
Пусть \(x_1=3-\sqrt{7-3a}\), \(x_2=3+\sqrt{7-3a}\), \(x_3=1-\sqrt{a-1}\), \(x_4=1+\sqrt{a-1}\).
Заметим, что корни \(x_1\) и \(x_2\) симметричны относительно \(3\), а корни \(x_3\) и \(x_4\) – относительно \(1\), то есть \(x_2\) находится правее \(3\), \(x_3\) – левее \(1\). При значениях \(1<a<\frac73\) корни \(x_2\) и \(x_3\) всегда будут удовлетворять условиям \(x\geqslant a\) и \(x\leqslant a\) соответственно. Следовательно, чтобы совокупность имела два решения, корни \(x_1\) и \(x_4\) НЕ должны удовлетворять этим условиям (соответственно): \[\begin{cases} 1+\sqrt{a-1}>a\\ 3-\sqrt{7-3a}<a\end{cases} \quad\Rightarrow\quad a\in (1;2)\] Учитывая, что в нашем случае \(1<a<\frac73\), то получаем окончательные подходящие значения для \(a\): \[1<a<2\]

Окончательный ответ к задаче: \[a\in (-\infty;2)\cup\left(\dfrac73;+\infty\right)\]

Ответ:

\(a\in (-\infty;2)\cup\left(\frac73;+\infty\right)\)

Перепишем уравнение в виде: \[|a^2+3-x|+|x-a-2|=a^2-a+1-|x-3a-1|\qquad (*)\] Так как \(|v|+|u|\geqslant |v+u|\), то \[|a^2+3-x|+|x-a-2|\geqslant |a^2+3-x+x-a-2|=|a^2-a+1|\] Заметим, что дискриминант \(a^2-a+1=0\) отрицателен, следовательно, \(a^2-a+1>0\) для любого \(a\). Следовательно, \[|a^2+3-x|+|x-a-2|\geqslant a^2-a+1\] Так как \(|z|\geqslant 0\) при любом \(z\), то \[a^2-a+1-|x-3a-1|\leqslant a^2-a+1\] Следовательно, мы получили, что левая часть уравнения \((*)\) всегда \(\geqslant a^2-a+1\), а правая часть всегда \(\leqslant a^2-a+1\). Таким образом, равенство может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(a^2-a+1\).
Для того, чтобы выполнялось \(|v|+|u|=|v+u|\), нужно: \(v\geqslant 0, u\geqslant 0\) или \(v\leqslant 0, u\leqslant 0\). Для того, чтобы правая часть была равна \(a^2-a+1\), нужно, чтобы \(|x-3a-1|=0\). Следовательно: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} a^2+3-x\geqslant 0\\ x-a-2\geqslant 0\\ x-3a-1=0\end{cases}\\[1ex] & \begin{cases} a^2+3-x\leqslant 0\\ x-a-2\leqslant 0\\ x-3a-1=0\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned}&\begin{cases} x\leqslant a^2+3\\ x\geqslant a+2\\ x=3a+1\end{cases}\\[1ex] & \begin{cases} x\geqslant a^2+3\\ x\leqslant a+2\\ x=3a+1\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что каждая система может иметь не более одного корня. Следовательно, вся совокупность может иметь не более двух корней.
Найдем значения \(a\), при которых первая система имеет решения. Значит нужно, чтобы корень \(x=3a+1\) удовлетворял обоим неравенствам в этой системе. Следовательно: \[\begin{cases} 3a+1\leqslant a^2+3\\ 3a+1\geqslant a+2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \left[\frac12;1\right]\cup[2;+\infty)\] Аналогично, вторая система будет иметь решения, если \[\begin{cases} 3a+1\geqslant a^2+3\\ 3a+1\leqslant a+2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad a\in \varnothing\] Следовательно, вторая система ни при каких \(a\) не будет иметь решений.
Значит, вся совокупность имеет не более одного корня. Нам нужно, чтобы она имела не менее одного корня, то есть подходящий случай – когда совокупность имеет один корень. Это выполняется при \[a\in \left[\frac12;1\right]\cup[2;+\infty)\]

Ответ:

\(\left[\frac12;1\right]\cup[2;+\infty)\)

Оба уравнения системы являются уравнениями квадратного типа. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент при \(x^2\) у какого-то из уравнений равен нулю.

1) \(a=2\). Тогда первое уравнение примет вид \(3=0\). Это уравнение не имеет решений, следовательно, и вся система не имеет решений. Следовательно, \(a=2\) нам не подходит.

2) \(a=0\). Тогда второе уравнение имеет единственный корень \(x=-\frac32\). Проверкой убеждаемся, что этот корень не является корнем первого уравнения. Следовательно, \(a=0\) нам не подходит.

3) \(a\ne 0;2\). Тогда оба уравнения квадратные. Систему можно преобразовать: вычесть из второго уравнения первое и получить новую систему: \[\begin{cases} 2x^2-2(4-a)x+a-9=0\\ ax^2-4x+a-6=0 \end{cases}\] Если \(t\) является общим корнем исходных уравнений, то он также является общим корнем и этих уравнений.
Выразим из обоих уравнений \(a\) и приравняем, получим уравнение: \[\dfrac{9-2x^2+8x}{2x+1}=\dfrac{6+4x}{x^2+1}\quad\Rightarrow\quad 2x^4-8x^3+x^2+8x-3=0\quad (*)\] Заметим, что \(x=1\) и \(x=-1\) являются корнями этого уравнения. Следовательно, разделив в столбик \(2x^4-8x^3+x^2+8x-3\) на \((x-1)(x+1)=x^2-1\), получим: \[(x^2-1)(2x^2-8x+3)=0\] Следовательно, все корни уравнения (*) — это \(x=\pm 1; (4\pm \sqrt{10}):2\).

4) Необходимо сделать проверку.

Если \(x=1\), то \(a=5\). Следовательно, система примет вид \[\begin{cases} 3x^2-6x+3=0\\ 5x^2-4x-1=0\end{cases}\] Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень \(x=1\).

Если \(x=-1\), то \(a=1\). Тогда \[\begin{cases} -x^2+2x+3=0 \\ x^2-4x-5=0 \end{cases}\] Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень \(x=-1\).

Если \(x=2\pm\sqrt{\frac52}\), то \(a=4\mp4\sqrt{\frac25}\). Если бы уравнения исходной системы имели еще один общий корень, то это значило бы, что все коэффициенты одного уравнения во сколько-то раз больше соответствующих коэффициентов другого уравнения. Но при данных \(a=4\mp4\sqrt{\frac25}\) это не выполняется, например, для старших коэффициентов и свободных членов: \[\dfrac{a-2}a\ne \dfrac3{a-6}\] Следовательно, в случае \(a=4-4\sqrt{\frac25}\) уравнения также имеют ровно один общий корень \(x=2+\sqrt{\frac52}\); при \(a=4+4\sqrt{\frac25}\) имеют единственный общий корень \(x=2-\sqrt{\frac52}\).

Ответ:

\(a=1;5; 4\mp4\sqrt{\frac25}\)