Математика
Русский язык

18. Задачи с параметром

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Свойства квадратичной функции (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Квадратичная функция – это функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c, \ a\ne 0\).

 

\(\blacktriangleright\) Графиком данной функции является парабола. При \(a>0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a<0\) – вниз.

 

\(\blacktriangleright\) Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) – это абсциссы точек пересечения параболы с осью \(Ox\).

 

\(\blacktriangleright\) Ось \(Oy\) парабола пересекает в точке \((0;c)\).

 

\(\blacktriangleright\) Вершина параболы имеет координаты \(\left(-\dfrac b{2a};f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)\).

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые удобные равносильные переходы:

 

I. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх и она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)<0\end{cases}\]


 

II. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вниз и она имеет одну точку пересечения с осью \(Ox\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a<0\\D=0\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a<0\\f\left(-\dfrac b{2a}\right)=0\end{cases}\]


 

III. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы обе точки были меньше \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}<1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)>0\\-\dfrac b{2a}<1 \end{cases}\]


 

IV. Пусть ветви параболы \(f(x)=ax^2+bx+c\) направлены вверх, она имеет две точки пересечения с осью \(Ox\), причем необходимо, чтобы эти точки находились по разные стороны от \(1\). Это условие задается одной из следующих систем: \[\begin{cases} a>0\\D>0\\x_1<1\\x_2>1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a>0\\D>0\\f(1)<0 \end{cases}\]

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Пусть \(x\) – решение неравенства \[\log_2\left(\sin (\pi ax)+\cos (\pi ax)\right) \geqslant \dfrac12\]

Для каждого целого значения параметра \(a\ne 0\) найдите максимальное значение функции \(f(x)=x(2-x)\).

Добавить задание в избранное

Сделаем замену для удобства: \(\pi ax=t\). Тогда неравенство примет вид: \[\begin{aligned} &\log_2(\sin t+\cos t)\geqslant \dfrac12 \quad\Leftrightarrow\quad \sin t+\cos t\geqslant \sqrt2 \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt2\sin \left(t+\dfrac{\pi}4\right)\geqslant \sqrt2 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] & \sin \left(t+\dfrac{\pi}4\right)\geqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad \sin \left(t+\dfrac{\pi}4\right)=1 \quad\Leftrightarrow\quad t+\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad\Leftrightarrow\quad t=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

Сделав обратную замену и учитывая, что \(a\ne 0\), получим: \[x=\dfrac 1a \left(\dfrac14+2n\right) , n\in\mathbb{Z}\]

Преобразуем функцию, максимальное значение которой нужно найти: \[f(x)=-x^2+2x-1+1=-(x-1)^2+1\]

Таким образом, функция примет вид: \[f(n)=-\left(\dfrac1a\left(\dfrac14+2n\right)-1\right)^2+1= -\dfrac4{a^2}\left(n+\dfrac18-\dfrac a2\right)^2+1\]

Таким образом, графиком функции при каждом фиксированном значении \(a\) является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина параболы находится в точке \(n_0=\frac a2-\frac18\):


 

Рассмотрим параболу только при целых \(n\) (так как, вообще говоря, \(n\) – целое). \(n_0=\frac a2-\frac18\) ни при каких целых \(a\) не будет являться целым числом. Следовательно, наибольшее значение функция принимает точно не в вершине.

 

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=2k, k\in\mathbb{Z}\,\backslash \{0\}\).

 

Тогда \(n_0=k-\dfrac18\). Следовательно, парабола выглядит так:


 

Заметим, что так как парабола симметрична относительно прямой \(n=k-\frac18\), то чем ближе число \(n\) расположено к \(k-\frac18\), тем больше будет значение функции \(f\) в нем. Следовательно, максимальное значение функция \(f(n)\) будет принимать либо при \(n=k-1\), либо при \(n=k\). Заметим, что \(k\) находится ближе к \(k-\frac18\), чем \(k-1\). Таким образом: \[f_{max}=f(k)=f\left(\frac a2\right)=1-\dfrac1{16a^2}\]

2) \(a=2k+1, k\in\mathbb{Z}\).

 

Тогда \(n_0=k+\dfrac38\). Следовательно, парабола выглядит так:


 

Аналогично, максимальное значение функция \(f(n)\) будет принимать либо при \(n=k+1\), либо при \(n=k\). Заметим, что \(k\) находится ближе к \(k+\frac38\), чем \(k+1\). Таким образом: \[f_{max}=f(k)=f\left(\frac{a-1}2\right)=1-\dfrac9{16a^2}\]

Ответ:

при \(a\) четном \(f_{max}=1-\dfrac1{16a^2}\)  

при \(a\) нечетном \(f_{max}=1-\dfrac9{16a^2}\)