Математика
Русский язык

2 часть ЕГЭ по математике профильного уровня

1. Создавай свой вариант теста
2. Отрабатывай важные темы
3. Работай над ошибками
13. Решение уравнений
1

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5\cos^2 x + \sin x = 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi)\).

Добавить задание в избранное
14. Задачи по стереометрии
2

В правильной треугольной пирамиде \(MABC\) с основанием \(ABC\) стороны основания равны \(6\), а боковые ребра \(8\). На ребре \(AC\) находится точка \(D\), на ребре \(AB\) находится точка \(E\), а на ребре \(AM\) – точка \(L\). Известно, что \(CD=BE=LM=2\). Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(E\), \(D\), \(L\).

 

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное
15. Решение неравенств
3

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_2^2 (x^2 - 2x + 5) - \log_2 (x^2 - 2x + 5)^3 + 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное
16. Задачи по планиметрии
4

В выпуклом пятиугольнике \(ABCDE\) известно, что \(AE=AD\), \(AC=AB\) и \(\angle DAC=\angle AEB+\angle ABE\). Докажите, что \(DC\) в два раза больше медианы \(AK\) треугольника \(ABE\).

(И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин)

Добавить задание в избранное
17. Сложные задачи прикладного характера
5

Андрей владеет двумя заводами. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет 200 рублей, а на втором – 300 рублей. Андрей хочет выделять на заработную плату рабочим в неделю 2,7 млн. рублей и при этом получать наибольшее количество произведенных товаров. Определите, сколько в этом случае должно быть произведено товаров на каждом заводе.

Добавить задание в избранное
18. Задачи с параметром
6

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} \log_2\sqrt{xy+2x}=\log_2(x+1)\\ |y-ax-a|=2\end{cases}\]

имеет ровно два различных решения.

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное
19. Задачи на теорию чисел
7

На доске написаны числа \(1\) и \(2\). За один ход два числа \(m\) и \(n\), записанные на доске, заменяются на два числа \(2m + 2n - 1\) и \(3m + n - 4\) или \(2m + 2n - 1\) и \(3n + m - 4\).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел на доске окажется числом \(29\).

б) Может ли после \(100\) ходов одно из двух чисел на доске быть равно \(10^{30}\)?

в) Сделали \(2017\) ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Добавить задание в избранное