Математика
Русский язык

2 часть ЕГЭ по математике профильного уровня

1. Создавай свой вариант теста
2. Отрабатывай важные темы
3. Работай над ошибками
13. Решение уравнений
1

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное
14. Задачи по стереометрии
2

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), стороны основания которой равна \(4\), а боковые ребра равны \(5\).

 

а) Постройте сечение призмы плоскостью \(DMN\), где \(M\) и \(N\) – середины отрезков \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\).

б) Найдите угол между данным сечением и плоскостью \(ABC\).

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное
15. Решение неравенств
3

Решите неравенство \[\dfrac3{6x^2-x-12}\leqslant\dfrac{25x-47}{10x-15}-\dfrac3{3x+4}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное
16. Задачи по планиметрии
4

Вершины квадрата \(PQRS\) лежат на сторонах треугольника \(ABC\) (\(P\) лежит на \(AB\), \(Q\) и \(R\) лежат на \(BC\), \(S\) лежит на \(AC\)). \(AK\) – высота в треугольнике \(ABC\).

а) Докажите, что если \(\angle BAC = 90^\circ\), то \(BP\cdot AS = AP\cdot CS\).

б) Найдите \(\dfrac{PQ}{BC}\), если \(AK = \dfrac{1}{2}BC\).

Добавить задание в избранное
17. Сложные задачи прикладного характера
5

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере \(6\,640\,000\) рублей под \(y\) процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью \(9\) млн. рублей, но решил для этого взять кредит под \(21\%\) годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число \(y\), чтобы процентов, начисляемых на его вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Добавить задание в избранное
18. Задачи с параметром
6

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \[\begin{cases} (2x^2-4x+3y^2+6y+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0\\ x^2-4x+y^2=a \end{cases}\]

имеет единственное решение.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное
19. Задачи на теорию чисел
7

На доске написаны числа \(1, 2, 3, ..., 30\). За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Добавить задание в избранное