2 часть ЕГЭ по математике профильного уровня

Дана прямая четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), основаниями которой являются равнобедренные трапеции \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) и \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) соответственно. Известно, что \(AA_1=AD\) и \(BC=2AA_1\), а диагонали каждого основания взаимно перпендикулярны.

а) Найдите сечение пирамиды плоскостью \(MDN\), где \(M\) – середина ребра \(AA_1\), \(N\) – середина ребра \(CC_1\) (то есть определите вид сечения и отношения, в которых вершины сечения делят ребра призмы).

б) Найдите угол между плоскостью \(MDN\) и плоскостью основания призмы.

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 27^x - 3 + 3\cdot 9^x - 3^x\leqslant 0 \end{aligned}\]

Точки \(B_1\) и \(C_1\) лежат на сторонах \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\), причем \(AB_1:B_1C=AC_1:C_1B\). Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\).

а) Докажите, что прямая \(AO\) делит пополам сторону \(BC\).

б) Найдите отношение площади четырехугольника \(AB_1OC_1\) к площади треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB_1:B_1C=AC_1:C_1B=1:2\).

В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи \(x\) кг алюминия в день требуется \(x^2\) человеко-часов труда, а для добычи \(y\) кг никеля в день требуется \(y^2\) человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[|a^2+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^2-a+1\]

имеет не менее одного решения.

Для последовательности целых чисел \(a_1, a_2, \dots, a_{10}\) и натурального числа \(k\leqslant 8\) верно неравенство \(a_k+a_{k+2}<2a_{k+1}\).

а) Приведите пример последовательности для \(a_1=a_{10}=1\).

б) Существует ли такая последовательность при \(a_1+a_{10}=2a_6\)?

в) Найдите наибольшее значение выражения \(a_1-a_4-a_7+a_{10}\).