Математика
Русский язык

Вероятность совместных событий

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определения

События \(A\) и \(B\) независимы, если вероятность того, что оба они наступят одновременно равна произведению их вероятостей: \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).

Пример

Пусть событие \(A = \) “Сегодня аппарат для кофе сломается”\( \), \(P(A) = 0,1\),

пусть событие \(B = \) “Сегодня микроволновая печь сломается”\( \), \(P(B) = 0,05\),
тогда если вероятность события \(C = A\cap B\) = \( \)“Сегодня сломаются и аппарат для кофе и микроволновая печь”\(\ \)равна \(P(C) = P(A)\cdot P(B) = 0,005\), то события \(A\) и \(B\) независимы, а если \(P(C)\neq 0,005\), то они зависимы (это может быть так, например, когда они включены в одну сеть и неполадки одного устройства могут вывести из строя другое).

 

Замечание

В случае, когда не известно хотя бы одно из чисел \(P(A)\cdot P(B)\), \(P(A\cap B)\) судить о зависимости событий \(A\) и \(B\) нельзя, однако в задачах часто предполагается, что если зависимость событий не оговаривалась, то они независимы.

 

Вероятность того, что из событий \(A\) и \(B\) случится хотя бы одно, выражается через вероятности событий \(A\) и \(B\) следующим образом:\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\] Если при этом события \(A\) и \(B\) независимы, то \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\cdot P(B).\]