Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Сумма вероятностей несовместных событий

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.

Если два события в заданных условиях могут происходить одновременно, то их называют совместными. Те, которые происходить одновременно не могут, называют соответственно несовместными.
Например, события “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” являются совместными, потому что 3 – нечетное число. А вот события “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков” будут несовместными, потому что одновременно выпасть и 3 очка, и 5 очков не может.
Также примером совместных событий могут служить события “выбранному ученику 13 лет” и “выбранному ученику не менее 10 лет”, которые являются исходами эксперимента: из класса, состоящего из 25 человек, выбирают случайным образом одного ученика.
Еще один пример несовместных событий: “играя в шахматы с Машей, Таня выиграла” и “играя в шахматы с Таней, Маша выиграла”.

 

Все элементарные события являются несовместными (просто в силу своего определения). Любое событие, не являющееся элементарным, есть совокупность некоторого количества элементарных событий. Например, событие “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” есть не что иное, как совокупность трех событий: “при бросании кубика выпадет 1 очко”, “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков”.
Если назвать событие “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” событием \(A\),
“при бросании кубика выпадет 1 очко” – событием \(B\),
“при бросании кубика выпадет 3 очка” – событием \(C\),
“при бросании кубика выпадет 5 очков” – событием \(D\),
то условно это можно записать так: \[A=B\cup C\cup D \quad \text{или}\quad A=\big\{B \ \text{или} \ C \ \text{или} \ D\big\}\]

 

Факт 2.

Верен следующий факт:
Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных событий \(A\) и \(B\) (то есть \(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\).

Например, используя предыдущий пример, вероятность события “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” равна сумме вероятностей событий “при бросании кубика выпадет 1 очко”, “при бросании кубика выпадет 3 очка” и “при бросании кубика выпадет 5 очков”. А так как вероятность каждого из этих трех событий равна \(\frac16\), то вероятность события “при бросании кубика выпадет нечетное число очков” равна \(\frac16+\frac16+\frac16=\frac12\).
Заметим, что если посчитать вероятность этого события, пользуясь формулой \(P=\frac mN\), то мы получим тот же ответ (естественно ).

 

Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.
Таким образом, союз “или” заменяется на знак “\(+\)”.

Пример 1.
При подбрасывании игральной кости найти вероятность события
\(C=\{\)выпадет число, делящееся на три\(\}\).

 

Решение. Можно сказать, что, для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число \(3\) или число \(6\).
Значит, \(A=\{\)выпадет \(3\}\), \(B=\{\)выпадет \(6\}\), причем эти события несовместны!
Тогда \(C=\{A\) или \(B\}\).

 

Значит, \(P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13\).

 

Пример 2.
В небе над домом Никиты в сутки пролетает ровно один самолет. Если разбить сутки на четыре промежутка: утро, день, вечер, ночь, то вероятность того, что Никита увидит в небе самолет утром, равна \(0,45\); днем – вероятность равна \(0,37\); вечером – равна \(0,1\). Найдите вероятность того, что в темное время суток (вечером или ночью) Никита из окна своего дома увидит самолет.

 

Решение. Из условия задачи следует, что вероятность того, что в течение суток Никита увидит самолет, равна \(1\). Следовательно, вероятность того, что Никита увидит самолет ночью, равна \(1-0,45-0,37-0,1=0,08\). Следовательно, вероятность того, что Никита увидит самолет в темное время суток, равна \(0,08+0,1=0,18\).

 

Комментарий. В случае совместности событий данная формула уже не верна. Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет четное число}. Ответ должен быть \(P(C)=\frac12\).
Но если принять за \(A=\){выпадет число, делящееся на \(2\)}, \(B=\){выпадет число, делящееся на \(4\)}, то \(P(C)=\frac12+\frac16\ne \frac12\), потому что события \(A\) и \(B\) совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет \(4\).
Таким образом, прежде чем пользоваться данным фактом, следует убедиться, что события, вероятности которых вы хотите складывать, действительно несовместны!