Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ

Простейшие показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени). Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\bullet\) Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\bullet\) Простейшее показательное уравнение: \[a^{f(x)}=a^{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)\] где \(a>0, a\ne 1\).
Примеры:
1) Решим уравнение \(2^x=4\). Так как \(4=2^2\), то уравнение можно записать в виде \(2^x=2^2\). Оно равносильно \(x=2\).
2) Решим уравнение \(5^{x+4}=125\). Так как \(125=5^3\), то уравнение можно записать в виде \(5^{x+4}=5^3\). Оно равносильно \(x+4=3\), откуда \(x=3-4=-1\).
\(\bullet\) Основные формулы:

\[\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}\] \(\bullet\) Наиболее часто встречающиеся степени: \[\begin{array}{|lllll|} \hline 2^2=2 &\quad3^2=9 &\quad4^2=16 &\quad5^2=25 &\quad6^2=36\\ 2^3=8 &\quad3^3=27 &\quad4^3=64 &\quad5^3=125 &\quad6^3=216\\ 2^4=16 &\quad3^4=81 &\quad4^4=256 &\quad5^4=625 &\\ 2^5=32 &\quad3^5=243 &&&\\ 2^6=64 &\quad3^6=729 &&&\\ 2^7=128 &&&&\\ 2^8=256 &&&&\\ 2^9=512 &&&&\\ 2^{10}=1024 &&&&\\ \hline \end{array}\] Примеры:

 

1) Решить уравнение \(2^{5+x}=\sqrt[5]{32^2}\).
Решение.
Так как \(32=2^5\), то \(32^2=(2^5)^2=2^{10}\), следовательно, . Таким образом, \(2^{5+x}=2^2\), откуда \(5+x=2\), следовательно, \(x=2-5=-3\).  

2) Решить уравнение \(2^{4x-8}=0,5\).
Решение.
Так как \(0,5=\dfrac12\), а \(\dfrac12=2^{-1}\), то \(2^{4x-8}=2^{-1}\), откуда \(4x-8=-1\), следовательно, \(x=\dfrac{-1+8}4=\dfrac74=1,75\).  

3) Решить уравнение \(\left(\dfrac1{125}\right)^{18-x}=25\).   Решение.
Так как \(125=5^3\), то \(\dfrac1{125}=\dfrac1{5^3}=5^{-3}\). Также \(25=5^2\). Следовательно, \(\left(5^{-3}\right)^{18-x}=5^2\) или \(5^{-3(18-x)}=5^2\), откуда   \(-3(18-x)=2\quad\Rightarrow\quad -54+3x=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{2+54}3=\dfrac{56}3\).