Математика
Русский язык

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени). Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Показательное уравнение – уравнение, имеющее вид \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\), где \(a\) – положительное число, отличное от \(1\), или уравнение, сводящееся к этому виду.

 

Теорема

Показательное уравнение \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) (где \(a>0\), \(a\neq 1\)) равносильно уравнению \(f(x) = g(x)\).

 

Примеры решения показательных уравнений

1. Решите показательное уравнение

\[\begin{aligned} 2^{x} = 2^{x - 1}\cdot 2 \end{aligned}\]

Решение

\[\begin{aligned} &2^{x} = 2^{x - 1}\cdot 2\\ &2^{x} = 2^{x - 1}\cdot 2^1\\ &2^{x} = 2^{x - 1 + 1}\\ &2^{x} = 2^{x}\\ &x = x \end{aligned}\]

Следовательно, \(x\) – произвольное действительное число.

 

2. Решите показательное уравнение

\[\begin{aligned} &4^{3x} = 8^{x^2}\cdot 2^3 \end{aligned}\]

Решение

\[\begin{aligned} &4^{3x} = 8^{x^2}\cdot 2^3\\ &2^{2\cdot 3x} = 2^{3\cdot x^2}\cdot 2^3\\ &2^{6x} = 2^{3x^2 + 3}\\ &6x = 3x^2 + 3\\ &3(x^2 - 2x + 1) = 0\\ &3(x - 1)^2 = 0\\ \end{aligned}\]

Следовательно, \(x = 1\).