Математика
Русский язык

Вероятность несовместных событий

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определение

Элементарное событие – это один из возможных исходов испытания, в котором имеет место случайность.

Пример

Пусть при подбрасывании правильной (т.е. все 6 исходов подбрасывания равновероятны) игральной кости выпало число \(3\) – произошло единственное элементарное событие “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет \(3\)”.

 

Определение

Событие – это множество, состоящее из элементарных событий.

 

Пример

Пусть при подбрасывании правильной игральной кости выпало число \(3\). Это значит, что произошли события:

1. При подбрасывании правильной игральной кости выпадет \(3\) или \(4\).

2. При подбрасывании правильной игральной кости выпадет \(3\), \(4\) или \(5\).

3. При подбрасывании правильной игральной кости выпадет число не меньше \(3\).

4. При подбрасывании правильной игральной кости выпадет число не больше \(3\).

5. При подбрасывании правильной игральной кости выпадет число не больше \(4\).

И т.д.

 

Определения

Вероятность – это функция, которая каждому событию ставит в соответствие число из отрезка \([0; 1]\), причём
1) сумма вероятностей всех элементарных событий равна единице
2) вероятность любого события равна сумме вероятностей элементарных событий, из которых оно состоит.
Обозначение: \(P\).

Вероятность события \(A\) – это число \(P(A)\).

События \(A\) и \(B\) равновероятны, если \(P(A) = P(B)\).

 

По определению вероятности получается, что если все элементарные события равновероятны, то есть вероятность каждого из них равна \(\dfrac{1}{N}\) (где \(N\) – количество различных элементарных событий), то вероятность события \(A\), состоящего из \(m\) элементарных событий, равна \(P(A) = \dfrac{m}{N}\).

 

Пример

Пусть \(A = \) “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет чётное число”. Чему равно \(P(A)\)?

Так как игральная кость – правильная, то вероятности всех исходов подбрасывания одинаковы. Так как различных исходов всего \(6\) (могло выпасть \(1\), ..., \(5\) или \(6\)), то вероятность каждого исхода равна \(\dfrac{1}{6}\) (чтобы сумма их всех была равна единице). Из скольких элементарных событий состоит событие \(A\)? Возможные чётные числа на грани кости – это \(2\), \(4\) или \(6\), то есть событие \(A\) состоит из трёх элементарных событий:

1. \(a = \) “Выпадет \(2\)”.

2. \(b = \) “Выпадет \(4\)”.

3. \(c = \) “Выпадет \(6\)”.

Таким образом, (поскольку все элементарные события равновероятны) \(P(A) = \dfrac{m}{N} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

 

Определения

События \(A\) и \(B\) неравновероятны, если \(P(A)\neq P(B)\).

События \(A\) и \(B\) несовместны, если они не могут произойти одновременно.

Пример

Пусть событие \(A = \) “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет чётное число”\( \),

пусть событие \(B = \) “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет нечётное число”\( \),
тогда события \(A\) и \(B\) несовместны (никакой результат подбрасывания не может быть одновременно и чётным и нечётным, поскольку таких чисел не бывает).

 

Утверждение

Пусть \(A\) и \(B\) – несовместные события, тогда вероятность того, что наступит хотя бы одно из них, равна \(P(A) + P(B)\).

Доказательство

\(C =\ \)“Наступит хотя бы одно из событий \(A\) и \(B\)\(\ \) – это тоже событие, следовательно, его вероятность равна сумме вероятностей элементарных событий, из которых оно состоит. Но \(A\) и \(B\) – несовместные события, тогда каждое элементарное событие входит не более чем в одно событие из \(A\) и \(B\). Таким образом, \(P(A) + P(B)\) – это сумма всех элементарных событий, входящих в \(A\) или в \(B\), причём взятых ровно по одному разу, что по определению и есть \(P(C)\).

 

Пример

Пусть событие \(A = \) “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет не менее 4”\( \), \(P(A) = 0,5\),

пусть событие \(B = \) “при подбрасывании правильной игральной кости выпадет не более 2”\( \), \(P(B) = \dfrac{1}{3}\),
тогда события \(A\) и \(B\) несовместны.

\(C = \) “наступит \(A\) или \(B\)\(\ = \ \)“выпадет число, не меньшее 4 или выпадет число, не большее 2”\( \), \(P(C) = P(A) + P(B) = \dfrac{5}{6}\).

Легко убедиться в справедливости этого результата, если заметить, что \(C = \ \)“выпадет не 3”.

 

Определения

События \(A\) и \(B\) независимы, если вероятность того, что оба они наступят одновременно равна произведению их вероятностей: \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\).

Пример

Пусть событие \(A = \) “Сегодня аппарат для кофе сломается”\( \), \(P(A) = 0,1\),

пусть событие \(B = \) “Сегодня микроволновая печь сломается”\( \), \(P(B) = 0,05\),
тогда если вероятность события \(C = A\cap B\) = \( \)“Сегодня сломаются и аппарат для кофе и микроволновая печь”\(\ \)равна \(P(C) = P(A)\cdot P(B) = 0,005\), то события \(A\) и \(B\) независимы, а если \(P(C)\neq 0,005\), то они зависимы (это может быть так, например, когда они включены в одну сеть и неполадки одного устройства могут вывести из строя другое).

 

Замечание

В случае, когда не известно хотя бы одно из чисел \(P(A)\cdot P(B)\), \(P(A\cap B)\), судить о зависимости событий \(A\) и \(B\) нельзя, однако в задачах часто предполагается, что если зависимость событий не оговаривалась, то они независимы.

Задачи на нахождение вероятности несовместных событий в ЕГЭ по математике встречаются ежегодно, поэтому при подготовке к экзамену стоит в обязательном порядке повторить основные определения и базовую теорию по этой теме. Справляться с такими задачами должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями по теме «Вероятность несовместных событий», выпускники смогут выполнять задания с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково»

Все базовые определения («элементарное событие», «вероятность» и другие), которые помогут выпускникам восстановить пробелы в знаниях перед написанием ЕГЭ, изложены нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает у них определенные сложности.

Для качественной подготовки к ЕГЭ важно не только выучить теорию по теме «Вероятность несовместных событий», но и попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач находится в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. Учащиеся могут последовательно выполнять простые и более сложные задания в режиме онлайн.

Кроме того, в случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Сделав это, ученик сможет в удобное время вернуться к этому заданию, чтобы обсудить его со своим преподавателем.