Математика
Русский язык

Классическое определение вероятности

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.

Случайное событие – это событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти.
Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка”. Напомним, что игральная кость – это кубик с шестью гранями, на которых написаны числа от 1 до 6.

 

Предположим, что мы проводим некоторое испытание (эксперимент), например, бросаем игральную кость. Результатом нашего испытания может быть одно из шести событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков. Такие события называются элементарными событиями (то есть это “простейшие” события, которые в совокупности образуют все множество исходов нашего эксперимента).
Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка” не является элементарным, оно состоит из двух элементарных событий “при бросании игральной кости выпало 3 очка” и “при бросании игральной кости выпало 4 очка”.
Если сложить вероятности всех возможных элементарных событий у некоторого эксперимента, то получится \(1\).

 

Два события мы будем называть равновероятными (равновозможными), если вероятности наступления любого из них одинаковы. Например, при бросании игральной кости вероятности любого из событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, одинаковы. Или, например, при подбрасывании монеты вероятности событий “выпадет орел” и “выпадет решка” также одинаковы.
Примером неравновероятных событий могут послужить два события: “при бросании игральной кости выпадет 1 очко” и “при бросании игральной кости выпадет нечетное количество очков”. Почему? В первом случае нам удовлетворяет только исход, когда кубик упадет кверху гранью, на которой написано 1; во втором случае нам подходит целых три исхода: он может выпасть кверху гранью с 1, с 3 или с 5.

 

Факт 2.

Если при проведении некоторого эксперимента возможны \(N\) равновероятных элементарных событий, то вероятность события \(A\) : \[P(A)=\dfrac mN,\] где \(m\) – количество “подходящих” элементарных событий.
Вероятность обозначается буквой \(P\).

На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:

 

Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.
Давайте рассмотрим несколько примеров, в которых используется данная формула.

 

Пример 1.
Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет 3 очка.

 

Решение. Всего при бросании игральной кости возможны шесть исходов (в данном случае, элементарные события), которые мы описывали ранее. Как мы уже говорили, вероятности наступления каждого из этих исходов одинаковы. Следовательно, \(N=6\). Подходит нам только один исход: когда выпадет 3 очка. Следовательно, \(m=1\).
Таким образом, вероятность нашего события равна \(\dfrac16\).
Вообще говоря, вероятность любого из исходов: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, равна \(\frac16\).  

Пример 2.
Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 4 очка.

 

Решение. Для начала нужно найти количество всех возможных исходов у нашего эксперимента. Предположим, на первом кубике выпало 1. Тогда на втором кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть уже есть шесть возможных исходов.
Если на первом кубике выпало 2, то на втором также может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть еще шесть исходов.
Рассуждая аналогично, мы получим шесть “блоков” по шесть исходов. То есть всего у нашего события 36 возможных исходов (в данном случае, они будут элементарными событиями).
На самом деле, если мы бросаем \(k\) игральных костей, то всего у такого эксперимента будет \(6^k\) элементарных исходов.

Теперь давайте подумаем, сколько из них нам подходит. Чтобы в сумме на обоих кубиках было 4 очка, нужно, чтобы:
– на первом кубике выпало 1, на втором 3 очка;
– на первом кубике выпало 2, а на втором 2 очка;
– на первом кубике выпало 3, а на втором 1 очко.
Таким образом, нам подходит только три исхода.   Следовательно, вероятность равна \(\dfrac3{36}=\dfrac1{12}\).

Пример 3.
Торт разделен на 9 кусков, которые условно пронумерованы числами от 1 до 9. Найдите вероятность того, что Маша возьмет кусок с номером 6.

 

Решение. Маша может взять любой из девяти кусков, следовательно, у нашего эксперимента всего девять исходов. Подходящий нам исход только один – Маша должна взять кусок с номером 6.   Следовательно, вероятность равна \(\dfrac19\).

 

Пример 4.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 - из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

 

Решение. Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п. Всего претендентов на последнее место \(8+6+5+6=25\) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь \(8\) из Аргентины.
Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих   исходов к количеству всех: \(\dfrac8{25}\).

Задачи на нахождение вероятности несовместных событий в ЕГЭ по математике встречаются ежегодно, поэтому при подготовке к экзамену стоит в обязательном порядке повторить основные определения и базовую теорию по этой теме. Справляться с такими задачами должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями по теме «Вероятность несовместных событий», выпускники смогут выполнять задания с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Готовьтесь к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково»

Все базовые определения («элементарное событие», «вероятность» и другие), которые помогут выпускникам восстановить пробелы в знаниях перед написанием ЕГЭ, изложены нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает у них определенные сложности.

Для качественной подготовки к ЕГЭ важно не только выучить теорию по теме «Вероятность несовместных событий», но и попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач находится в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. Учащиеся могут последовательно выполнять простые и более сложные задания в режиме онлайн.

Кроме того, в случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Сделав это, ученик сможет в удобное время вернуться к этому заданию, чтобы обсудить его со своим преподавателем.