Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

Произведение вероятностей совместных (независимых) событий

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт.

Предположим, что нам нужно найти вероятность некоторого события \(C\), для выполнения которого нужно, чтобы одновременно произошли два события \(A\) и \(B\). Чему будет равна такая вероятность?
Для начала следует сказать, что если события \(A\) и \(B\) являются несовместными, то вероятность события \(C\) будет равна \(0\). Действительно, ведь несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно. А событие \(C\) – это как раз событие, которое требует одновременного выполнения событий \(A\) и \(B\). Очевидно, что такое невозможно. Это и значит, что вероятность события \(C\) равна \(0\).

 

Таким образом, мы выяснили, что для того, чтобы вероятность такого события \(C\) была ненулевой, события \(A\) и \(B\) должны быть совместными.

 

Например, событие \(C=\{\)при бросании кубика выпадет \(6\}\) можно интерпретировать как \(C=\{A\) и \(B\}\), где \(A=\{\)при бросании кубика выпадет число, делящееся на \(3\}\), \(B=\{\)при бросании кубика выпадет число, делящееся на \(2\}\) (потому что из всех чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 единственное число, делящееся одновременно на 2 и на 3 – это 6).

 

Задача.
Представим, что мы проводим следующий эксперимент. В мешке лежат карандаши двух цветов: черные и красные, а также ручки двух цветов: черные и красные. Причем вероятность достать карандаш равна вероятности достать ручку. Всего карандашей 15, из них 11 черных; ручек всего 35, из них 10 красных. Как нам найти вероятность того, что мы достанем красный карандаш?

 

Учитывая, что вероятности достать ручку или карандаш одинаковые, то эту задачу можно решить, используя предыдущие факты. Всего предметов в мешке 50, из них красных карандашей 4 штуки. Значит, вероятность достать красный карандаш равна \(\frac4{50}=0,08\).
Но эту задачу можно решить и по-другому.

 

Верен следующий факт:
Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (обозначается это так: \(C=\{A\) и \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в оба круга одновременно (то есть попасть в пересечение этих кругов).
При такой формулировке и видно, что если круги не пересекаются, то попасть в оба круга одновременно невозможно.
Таким образом, союз “и” заменяется на знак “\(\cdot\)”.

 

Продемонстрируем данный факт на примере предыдущей задачи.
Пусть событие \(C=\{A\) и \(B\}\), где \(A=\{\)достанем из мешка карандаш\(\}\), \(B=\{\)вынутый из мешка карандаш окажется красным\(\}\) (видим, что события \(A\) и \(B\) совместны).
Тогда \(P(C)=P(A)\cdot P(B)\). Вероятность достать из мешка карандаш равна \(\frac{15}{50}\) (всего 15 карандашей, а предметов в мешке всего 50). Вероятность достать из всех карандашей именно красный равна \(\frac{4}{15}\) (всего 15 карандашей, из них 4 карандаша красные). Таким образом, искомая вероятность равна \(\frac{15}{50}\cdot \frac4{15}=\frac4{50}=0,08\).

 

Да, поиск вероятности таким способом для данной задачи не назовешь оптимальным, но мы хотели продемонстрировать вам применение изучаемого факта.

 

Разберем одну из классических задач ЕГЭ по математике.

 

Пример.
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью \(0,5\). Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью \(0,3\). Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

 

Решение. Наше событие \(C=\{\)шахматист А. выиграет, играя один раз белыми, и выиграет, играя один раз черными\(\}=\{A\) и \(B\}\), где \(A=\{\)шахматист А. выиграет, играя белыми\(\}\), \(B=\{\)шахматист А. выиграет, играя черными\(\}\).
Таким образом, \[P(C)=P(A)\cdot P(B)=0,5\cdot 0,3=0,15\]

Заметим, что если предыдущую задачу про карандаши и ручки мы можем решить, используя разные методы, то данную задачу, не используя изучаемый факт, решить не получится.

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.