Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

Сумма вероятностей совместных (независимых) событий

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт.

Будем называть два события независимыми, если наступление одного события никак не влияет на наступление другого события. Например, события “при бросании кубика выпадет 4 очка” и “при бросании кубика выпадет 3 очка” будут независимыми.
А вот события “сломался компьютер” и “у компьютера перестала работать клавиатура” являются зависимыми, потому что то, что именно сломалось в компьютере, напрямую влияет на наступление второго события.

 

Давайте рассмотрим независимые события. Представим, что у нас есть два совместных события, и нам нужно найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из них (до этого мы искали вероятность того, что такие два события наступят одновременно).
Например, подбрасывается игральная кость. Таня сказала: “Выпадет 5 или 6!” Коля сказал: “Выпадет четное число!”
Найдите вероятность того, что хотя бы один из них окажется прав.

 

Эту задачу можно решить и старыми методами, поэтому мы так и сделаем, а затем решим ее, используя новый факт, о котором мы скажем дальше.
Сколько всего исходов может быть при подбрасывании кубика? Шесть. Теперь давайте определим, сколько из них нам подходит. Чтобы была права Таня, нужно, чтобы выпало 5 или выпало 6 (два исхода). Чтобы был прав Коля, нужно, чтобы выпало 2, или 4, или 6 (три исхода).
(Видим, что эти события пересекаются по событию “выпадет 6”.)
Таким образом, если выпадет или 2, или 4, или 5, или 6, то кто-то из ребят точно будет прав. Значит, нам подходит всего 4 исхода. Следовательно, вероятность равна \(\frac46=\frac23\).

 

Как решить эту задачу по-другому?

 

Верен следующий факт:
Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\) за вычетом вероятности \(\{A\) и \(B\}\).

 

Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов (то есть попасть хотя бы в один из них).
Комментарий: если просто сложить \(P\,(A)+P\,(B)\), то получится, что мы два раза посчитали \(P\,(A\) и \(B)\). Именно поэтому один раз вычитается \(P\,(A\) и \(B)\).

 

Вернемся к предыдущей задаче. Для того, чтобы воспользоваться данной формулой, нам нужно найти вероятность того, что окажется права Таня, вероятность того, что окажется прав Коля, а также вероятность того, что они оба окажутся правы.
Вероятность того, что выпадет 5 или 6, равна \(\frac26=\frac13\).
Вероятность того, что выпадет четное число, равна \(\frac36=\frac12\).
Вероятность того, что окажутся правы оба – это вероятность того, что выпадет 6, то есть \(\frac16\).
Следовательно, искомая вероятность равна \[\dfrac13+\dfrac12-\dfrac16=\dfrac23\]

Да, поиск вероятности таким способом для данной задачи не назовешь оптимальным, но мы хотели продемонстрировать вам применение изучаемого факта.

 

Разберем еще одну задачу из ЕГЭ по математике, в которой требуется знание данного факта.

 

Пример.
По мишени по одному разу стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в мишень равна \(0,7\), второго — \(0,8\). Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень?

 

Решение. В задаче нужно найти вероятность того, чтобы хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Очевидно, что события независимые и совместные (ведь то, что первый стрелок попадет в мишень никак не отменяет того, что и второй стрелок может попасть в мишень).
Следовательно, вероятность одновременного наступления этих событий равна \(0,7\cdot 0,8\).
Назовем \(A=\{\)первый стрелок попал в мишень\(\}\), \(B=\{\)второй стрелок попал в мишень\(\}\). Тогда \(A\) и \(B=\{\)первый стрелок попал в мишень и второй стрелок попал в мишень\(\}\).
Следовательно, вероятность искомого события равна \[P(A)+P(B)-P(A \ \text{и} \ B)=0,7+0,8-0,7\cdot 0,8=0,94\]

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.