а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.
Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов: \[\begin{array}{l|c|c}
\text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\
\hline 1&0 & -\\
\hline 2&0 & -\\
\hline 3&0 & -\\
\hline 4&0 & -\\
\hline 5&0 & -\\
\hline 6&- & 0\\
\hline 7&- & 0\\
\hline 8&- & 0\\
\hline 9&- & 0\\
\hline 10&- & 0\\
\hline 11 & a_1 & a_1\\
\hline ... & ... & ...\\
\hline 28 & a_{18} & a_{18}\\
\hline\\
\end{array}\] где “\(-\)” значит, что человек не писал контрольную.
Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за I контрольную (или за II контрольную) было равно \(15\), нужно, чтобы \[\dfrac{a_1+\dots+a_{18}+5\cdot 0}{23}=15\quad\Rightarrow\quad
a_1+\dots+a_{18}=15\cdot 23\] То есть найти такие 18 чисел, сумма которых равна \(15\cdot 23\). Возьмем 15 чисел, равных \(20\), и 3 числа, равных \(15\): \(15\cdot 20+3\cdot 15=15\cdot 23\). То есть будет такая таблица: \[\begin{array}{l|c|c}
\text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\
\hline 1&0 & -\\
\hline 2&0 & -\\
\hline 3&0 & -\\
\hline 4&0 & -\\
\hline 5&0 & -\\
\hline 6&- & 0\\
\hline 7&- & 0\\
\hline 8&- & 0\\
\hline 9&- & 0\\
\hline 10&- & 0\\
\hline 11 & 20 & 20\\
\hline ... & ... & ...\\
\hline 25 & 20 & 20\\
\hline 26 & 15 & 15\\
\hline 27 & 15 & 15\\
\hline 28 & 15 & 15\\
\hline\\
\end{array}\] Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно: \[\dfrac{15\cdot 20+3\cdot 15+10\cdot 0}{28}<15\] (мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28!)
б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\), то есть \[\dfrac M{28}=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfrac{\Sigma}x=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\).
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\), и в \(\Sigma\). Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\), но не будет участвовать в \(\Sigma\). Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\), часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\), а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.
в) Пусть \(a\) – сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, \(b\) – кто писал только вторую контрольную, \(M\) – сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, \(m\) – сумма минимальных баллов среди этих 10-ти.
Тогда \[\dfrac{a+b+M}{28}=S\] Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно \(15\) (только вот количество ВСЕХ оценок уже равно \(28+10\)). Следовательно, \[\dfrac{a+b+M+m}{28+10}=15\quad\Rightarrow\quad
a+b+M=15\cdot 38-m\] Тогда \[S=\dfrac{15\cdot 38-m}{28}\] Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную – 20 баллов, то \(M\leqslant 20\cdot 10\). Следовательно, \(m\leqslant
M\leqslant 20\cdot 10\). Тогда: \[S\geqslant \dfrac{15\cdot 38-20\cdot 10}{28}=\dfrac{185}{14}\] Приведем пример для \(S=\frac{185}{14}\). Из получения оценки следует, что \(m=M=10\cdot 20\), то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда \(a+b=28S-M=170\). Если взять \(a=b=85\), то количество \(x\) студентов, писавших только первую контрольную, ищется: \[\dfrac{200+85}{10+x}=15\quad\Rightarrow\quad x=9\] Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.
То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от \(0\) до \(20\), которые в сумме дают \(85\). Есть: \(5+10+10+10+10+10+10+10+10=85\).
Ответ:
а) пример
б) нет
в) \(\frac{185}{14}\)