Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 4

Задание 1

После подорожания куртки на \(15\%\) цена куртки составила \(18\,400\) рублей. Сколько рублей стоила куртка до подорожания?

До подорожания цена куртки равнялась \(x\) рублей и составляла \(100\%\). После подорожания цена составила \(18\,400\) рублей и это \(115\%\). Следовательно, \[x=\dfrac{18400}{115}\cdot 100=16\,000\]

Ответ:

16000

Задание 2

На графике показана зависимость температуры воды, выраженной в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, во сколько раз изменилась температура воды с \(4\) минут до \(7\) минут.

По графику видно, что спустя \(4\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(50^\circ C\), спустя \(7\) минут температура была равна \(100^\circ C\), следовательно, температура воды изменилась в \(100:50=2\) раза.

Ответ:

2

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите площадь треугольника \(A'B'C\), где \(A'B'\) – средняя линия, параллельная стороне \(AB\).

Пусть \(A'\in AC, B'\in BC\).



По свойству средней линии \(\triangle ABC\sim \triangle A'B'C\) с коэффициентом подобия, равным \(2\). Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть \[\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C}}=4\] Высота \(\triangle ABC\), опущенная из \(C\), равна \(2\), \(AB=7\). Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot 2\cdot 7=7\). Тогда \[S_{A'B'C}=\dfrac74=1,75.\]

Ответ:

1,75

Задание 4

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Если на 100 сумок 8 оказываются с браком, то 92 оказываются качественными. Следовательно, вероятность купить качественную сумку равна \[\dfrac{92}{100}=0,92\]

Ответ:

0,92

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\sqrt{3x-8}=5\]

ОДЗ уравнения: \(3x-8\geqslant 0\). На ОДЗ: \[3x-8=5^2\quad\Leftrightarrow\quad x=11\] Данный корень подходит по ОДЗ.

Ответ:

11

Задание 6

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C=90^\circ\), \(\angle B=40^\circ\). Найдите угол между биссектрисой и медианой треугольника, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим чертеж:



Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то \(CM=MB\). Следовательно, \(\triangle CMB\) равнобедренный и \(\angle MCB=40^\circ\). Так как \(CL\) – биссектриса, то \(\angle LCB=45^\circ\). Следовательно, \(\angle LCM=45^\circ-40^\circ=5^\circ\).

Ответ:

5

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на отрезке \([-10;37]\). Найдите количество точек максимума функции \(f(x)\) на отрезке \([0;37]\).

Точка максимума – значение \(x\), в котором производная меняет свой знак с “\(+\)” на “\(-\)” (если двигаться по рисунку слева направо). Следовательно, в этой точке ее график пересекает ось абсцисс “сверху вниз”. Отметим отрезок \([0;37]\) и увидим, что таких точек 2:

Ответ:

2

Задание 8

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту, равную радиусу основания (конус вписан в цилиндр). Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь боковой поверхности конуса равна \(7\sqrt2\).

Пусть радиус основания и высота цилиндра и конуса равны \(R\). Если \(l\) – образующая конуса, то площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{\text{к}}=\pi Rl\), площадь боковой поверхности цилиндра равна \(S_{\text{ц}}=2\pi R\cdot R\).



Пусть \(AB\) – высота конуса и цилиндра, \(AC\) – образующая конуса, \(BC\) – радиус их основания. Тогда по теореме Пифагора \[AB^2+BC^2=AC^2\quad\Rightarrow\quad R^2+R^2=l^2\quad\Rightarrow\quad l=R\sqrt2\] Следовательно, \(S_{\text{к}}=\pi R^2\sqrt2=7\sqrt2\), откуда \(\pi R^2=7\).
Следовательно, \(S_{\text{ц}}=2\pi R^2=14.\)

Ответ:

14

Задание 9

Найдите значение выражения \(2\cos \alpha\), если \(\sin \alpha=0,8\) и \(\alpha\in \left(0;\dfrac{\pi}2\right)\).

Так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), то \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-0,8^2=0,6^2\). Так как \(\alpha\) лежит в первой четверти, то \(\cos\alpha>0\), следовательно, \(\cos\alpha=0,6\), значит, \(2\cos\alpha=1,2\).

Ответ:

1,2

Задание 10

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \[f(v)=\dfrac{f_0}{1-\frac vc}\quad {\small{\text{(Гц),}}}\] где \(c\) – скорость звука в м/с.
Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(10\) Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=315\) м/с. Ответ выразите в м/с.

Так как сигналы \(f\) и \(f_0\) должны отличаться не менее чем на \(10\), то \(f-f_0\geqslant 10\), откуда \(f\geqslant 10+440=450\). Таким образом, подставляя значения, получаем следующее неравенство: \[\dfrac{440}{1-\frac v{315}}\geqslant 450\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{44\cdot 315}{315-v}-45\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{v-7}{315-v}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(v\in [7;315]\). Следовательно, наименьшая скорость \(v=7\) м/с.

Ответ:

7

Задание 11

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Из условия следует, что Петя отвечает на один вопрос за \(\dfrac{60}8\) минут, а Ваня за \(\dfrac{60}9\) минут. Тогда на каждый вопрос у Пети уходит на \(\dfrac{60}8-\dfrac{60}9=\dfrac56\) минут больше времени. Следовательно, если всего у Пети ушло на весь тест на \(20\) минут больше времени, то количество вопросов можно найти так: \[20:\dfrac 56=\dfrac{20\cdot 6}5=24\]

Ответ:

24

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \[y=2x^2-13x+9\ln x+8\]

на отрезке \(\left[\dfrac{13}{14};\dfrac{15}{14}\right].\)

Область определения функции: \(x>0\).
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
Для этого сначала найдем производную: \[y'=4x-13+\dfrac 9x\] Найдем нули производной: \[4x-13+\dfrac9x=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac94\quad {\small{\text{или}}}\quad x=1\] Таким образом, нули разбивают область определения на три промежутка:



Таким образом, схематично график функции на отрезке \(\left[\frac{13}{14};\frac{15}{14}\right]\) выглядит так:



Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке \(x=1\): \[y(1)=2\cdot 1^2-13\cdot 1+9\ln 1+8=-3\]

Ответ:

-3

Задание 13

а) Решите уравнение \[2\log^2_2(2\sin x)-7\log_2(2\sin x)+3=0\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\dfrac{\pi}2; 2\pi\right].\)

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\). Сделаем замену \(\log_2(2\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2-7t+3=0\] Его корнями будут \(t_1=3\) и \(t_2=\frac12\). Сделаем обратную замену:   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=3\quad\Rightarrow\quad \sin x=4\). Данное уравнение не имеет решений.   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac{\sqrt2}2\quad\Rightarrow\quad \) \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n \ \) и \( \ x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни: \[\begin{aligned} &\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[2ex] & \dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 18\leqslant k\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ \dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

Задание 14

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Известно, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна прямой \(AB_1\).

а) Докажите, что \(AA_1=AC\).

б) Найдите расстояние между прямыми \(A_1C\) и \(AB_1\), если известно, что \(AC=7\), \(BC=8\).

а) Заметим, что так как \(B_1C_1\perp A_1C_1\) и \(B_1C_1\perp CC_1\), то \(B_1C_1\perp (AA_1C_1C)\).



Следовательно, если \(B_1A\) – наклонная, то \(C_1A\) – проекция этой наклонной на плоскость \(AA_1C_1C\). Так как по условию наклонная \(B_1A\) перпендикулярна \(A_1C\), то по теореме о трех перпендикулярах проекция \(C_1A\) также перпендикулярна \(A_1C\), то есть \(A_1C\perp C_1A\). Следовательно, \(AA_1C_1C\) – прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, это – квадрат, то есть \(AA_1=AC\), чтд.

 

б) Из пункта а) следует, что \(A_1O\perp (AB_1C_1)\) (так как \(A_1O\perp B_1A\) и \(A_1O\perp AC_1\)). Следовательно, \(A_1O\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, если провести в этой плоскости прямую, перпендикулярную \(B_1A\), то она будет перпендикулярна и \(B_1A\), и \(A_1C\), то есть по определению это и будет прямая, содержащая отрезок, равный расстоянию между \(B_1A\) и \(A_1C\).



Поэтому проведем \(OH\perp B_1A\). \(OH\) – искомое расстояние.
Заметим, что \(\triangle OHA\sim \triangle AB_1C_1\) по двум углам, следовательно, \[\dfrac{OH}{B_1C_1}=\dfrac{OA}{AB_1}\quad\Rightarrow\quad OH=\dfrac{B_1C_1\cdot OA}{AB_1}\] Так как из условия \(BC=8\), то и \(B_1C_1=8\). Так как по доказанному \(AA_1C_1C\) – квадрат со стороной \(AC=7\), то диагональ \(AC_1=7\sqrt2\), следовательно, \(AO=3,5\sqrt2\).
По теореме Пифагора \(AB^2=AC^2+BC^2=7^2+8^2=113\). Снова по теореме Пифагора \(AB_1^2=AB^2+BB_1^2=113+7^2=162\), следовательно, \(AB_1=9\sqrt2\). Таким образом, \[OH=\dfrac{8\cdot 3,5\sqrt2}{9\sqrt2}=\dfrac{28}9\]

Ответ:

б) \(\frac{28}9\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{\log_2x}{\log_2x-6} \geqslant 10\cdot \log_x2+\dfrac{35}{\log^2_2x-6\cdot \log_2x}\]

Общее ОДЗ всех логарифмов: \(x>0,x\ne 1\). На этом ОДЗ \(\log_x2=\dfrac1{\log_2x}\). Сделаем замену \(\log_2x=t\): \[\dfrac{t}{t-6}\geqslant \dfrac{10}t+\dfrac{35}{t^2-6t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-10t+25}{t(t-6)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-5)^2}{t(t-6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;0)\cup\{5\}\cup(6;+\infty)\] Сделаем обратную замену:
\(\bullet\) \(\log_2x<0\quad\Rightarrow\quad 0<x<1\)   \(\bullet\) \(\log_2x=5\quad\Rightarrow\quad x=2^5=32\)   \(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6=64\).   Пересекая полученный ответ с ОДЗ, имеем: \[x\in (0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\]

Ответ:

\((0;1)\cup\{32\}\cup(64;+\infty)\)

Задание 16

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\), причем меньшая окружность проходит через центр \(O\) большей. Диаметр \(BC\) большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке \(M\), отличной от точки \(A\). Лучи \(AO\) и \(AM\) вторично пересекают большую окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Точка \(C\) лежит на дуге \(AQ\) большей окружности, не содержащей точку \(P\).

а) Докажите, что прямые \(PQ\) и \(BC\) параллельны.

б) Известно, что \(\sin \angle AOC=\dfrac{\sqrt{15}}4\), прямые \(PC\) и \(AQ\) пересекаются в точке \(K\). Найдите \(QK:KA\).

а) Рассмотрим \(\triangle PQA\) и \(\triangle OMA\): \(\angle PQA=\angle OMA=90^\circ\), так как опираются на диаметры \(PA\) и \(OA\) соответственно. \(\angle PAQ\) – общий. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Значит, \(\angle AOM=\angle APQ\) – соответственные углы при \(PQ\) и \(OM\) и секущей \(PA\). Следовательно, \(PQ\parallel OM\quad \Rightarrow\quad PQ\parallel BC.\)

 

б) Из предыдущего пункта следует, что коэффициент подобия треугольников \(PQA\) и \(OMA\) равен \(PA:OA=2:1\). Следовательно, \(QM=MA\). Обозначим \(OM=a\), \(MA=b\), \(OA=c\). Найдем \(QK:KM\).
Заметим, что по двум углам подобны прямоугольные треугольники \(PQK\) и \(MCK\). Следовательно, \[QK:KM=PQ:MC=2OM:MC\] Так как \(OC=OA\) – радиус большого круга, то \[QK:KM=2a:(c-a)\] Из прямоугольного \(\triangle AOM\): так как \(\sin \angle AOM=\dfrac{\sqrt{15}}4\), то можно принять \(b=\sqrt{15}x\), \(c=4x\), откуда по теореме Пифагора \(a=x\). Следовательно, \[QK:KM=2x:(4x-x)=2:3\] Так как \(QK+KM=MA\), то, если \(QK=2y\), \(KM=3y\), то \[QK:KA=2y:8y=1:4\]

Ответ:

б) \(1:4\)

Задание 17

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Найдите \(r\), если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(120\%\) больше суммы, взятой в кредит.

Пусть \(A\) рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим \(0,01r=y\) и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+ y\cdot A & y\cdot A+\frac A{15}\\ \hline 2 & A-\frac A{15} & A-\frac A{15}+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right) & y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\frac A{15}\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline 15 & \frac A{15} & \frac A{15}+y\cdot \frac A{15} & y\cdot \frac A{15}+\frac A{15}\\ \hline \end{array}\] Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на \(120\%\), то это значит, что переплата составляет \(120\%\) от кредита. Следовательно: \[\begin{aligned} & y\cdot A+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\dots+y\cdot \frac A{15}=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad \\[2ex] \Leftrightarrow\quad &y\cdot A\cdot \left(1+\left(1-\frac1{15}\right)+\dots+\frac1{15}\right)=1,2\end{aligned}\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где \(a_1=1\), \(a_{15}=\frac1{15}\). Следовательно: \[y\cdot A\cdot \dfrac{1+\frac1{15}}2\cdot 15=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad 8y=1,2\quad\Leftrightarrow\quad y=0,15\] Следовательно, \[r=100y=15 \ (\%)\]

Ответ:

15

Задание 18

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{1-4x}\cdot \ln(9x^2-a^2)=\sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x+a)\]

имеет ровно один корень.

Данное уравнение можно переписать как \[\begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln \dfrac{(3x-a)(3x+a)}{3x+a}=0\\[2ex] 3x+a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \sqrt{1-4x}\cdot \ln (3x-a)=0\\ 3x+a>0\end{cases}\] Система имеет два корня:
1) \(x_1=\frac14\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(3x-a>0\): \[\begin{cases} \dfrac34+a>0\\[1ex] \dfrac34-a>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac34<a<\dfrac34\]
2) \(x_2=\frac{a+1}3\), если он удовлетворяет \(3x+a>0\) и \(1-4x\geqslant 0\): \[\begin{cases} a+1+a>0\\[1ex] 1-\dfrac43a-\dfrac43\geqslant 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<a\leqslant -\dfrac14\]

 

Рассмотрим случаи, когда данная система имеет ровно один корень. Пусть \(x_1\ne x_2\), то есть \(a\ne -\frac14\).
1. Пусть \(x_1=\frac14\) – единственное решение системы.
\(x_1\) будет корнем, если \(-\frac34<a<\frac34\), \(x_2\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left(-\frac14;+\infty\right)\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left(-\dfrac14;\dfrac34\right)\] 2. Пусть \(x_2=\frac{a+1}3\) – единственное решение системы.
\(x_1\) не будет корнем, если \(a\in \left(-\infty;-\frac34\right]\cup\left[\frac34;+\infty\right)\), \(x_2\) будет корнем, если \(-\frac12<a\leqslant -\frac14\). Пересекая эти значения, а также учитывая, что \(a\ne -\frac14\), получаем: \[a\in \varnothing\]

Пусть \(x_1=x_2\). Тогда \(a=-\frac14\). Заметим, что при этом значении что \(x_1\), что \(x_2\) являются решением, следовательно, оно нам подходит.
Итоговый ответ: \[a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right)\]

Ответ:

\(a\in \left(-\dfrac34;-\dfrac12\right]\cup\left[-\dfrac14;\dfrac34\right) \)

Задание 19

Каждый из \(28\) студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\) включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил \(15\). Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).

 

а) Приведите пример, когда \(S<15\).

б) Могло ли значение \(S\) быть равным \(5\)?

в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные писали только \(10\) студентов?

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.
Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & a_1 & a_1\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 28 & a_{18} & a_{18}\\ \hline\\ \end{array}\] где “\(-\)” значит, что человек не писал контрольную.
Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за I контрольную (или за II контрольную) было равно \(15\), нужно, чтобы \[\dfrac{a_1+\dots+a_{18}+5\cdot 0}{23}=15\quad\Rightarrow\quad a_1+\dots+a_{18}=15\cdot 23\] То есть найти такие 18 чисел, сумма которых равна \(15\cdot 23\). Возьмем 15 чисел, равных \(20\), и 3 числа, равных \(15\): \(15\cdot 20+3\cdot 15=15\cdot 23\). То есть будет такая таблица: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & 20 & 20\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 25 & 20 & 20\\ \hline 26 & 15 & 15\\ \hline 27 & 15 & 15\\ \hline 28 & 15 & 15\\ \hline\\ \end{array}\] Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно: \[\dfrac{15\cdot 20+3\cdot 15+10\cdot 0}{28}<15\] (мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28!)

 

б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\), то есть \[\dfrac M{28}=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfrac{\Sigma}x=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\).
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\), и в \(\Sigma\). Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\), но не будет участвовать в \(\Sigma\). Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\), часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\), а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.

 

в) Пусть \(a\) – сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, \(b\) – кто писал только вторую контрольную, \(M\) – сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, \(m\) – сумма минимальных баллов среди этих 10-ти.
Тогда \[\dfrac{a+b+M}{28}=S\] Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно \(15\) (только вот количество ВСЕХ оценок уже равно \(28+10\)). Следовательно, \[\dfrac{a+b+M+m}{28+10}=15\quad\Rightarrow\quad a+b+M=15\cdot 38-m\] Тогда \[S=\dfrac{15\cdot 38-m}{28}\] Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную – 20 баллов, то \(M\leqslant 20\cdot 10\). Следовательно, \(m\leqslant M\leqslant 20\cdot 10\). Тогда: \[S\geqslant \dfrac{15\cdot 38-20\cdot 10}{28}=\dfrac{185}{14}\] Приведем пример для \(S=\frac{185}{14}\). Из получения оценки следует, что \(m=M=10\cdot 20\), то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда \(a+b=28S-M=170\). Если взять \(a=b=85\), то количество \(x\) студентов, писавших только первую контрольную, ищется: \[\dfrac{200+85}{10+x}=15\quad\Rightarrow\quad x=9\] Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.
То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от \(0\) до \(20\), которые в сумме дают \(85\). Есть: \(5+10+10+10+10+10+10+10+10=85\).

Ответ:

а) пример

б) нет

в) \(\frac{185}{14}\)