2 часть ЕГЭ по математике профильного уровня

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона \(AB\) основания равна \(12\), а высота призмы равна \(2\). На ребрах \(B_1C_1\) и \(AB\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причем \(PC_1=3, AQ=4\). Плоскость \(A_1PQ\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(M\).

а) Докажите, что точка \(M\) является серединой ребра \(BC\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(A_1PQ\).

(ЕГЭ 2016, резервный день)

Решите неравенство \[1+\dfrac 4{\log_5x-2}+\dfrac 3{\left(\log_5x\right)^2-\log_55x^4+5}\geqslant 0\]

Радиус окружности, вписанной в неравносторонний треугольник \(ABC\), равен \(r\), а длины его сторон – целые числа, образующие арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что \(r\neq\dfrac{1}{2}\).

б) Найдите наименьшее возможное значение периметра треугольника \(ABC\), если \(r = 1\).

Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под \(8\%\) годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^3+4x^2-x\cdot \log_2(a-3)+6=0\]

имело единственное решение на отрезке \([-2;2]\).

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Учитель задумал несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по два числа, по три числа и т.д.) он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие числа, равные ему, стирают.
Например, если задуманы числа \(1, 5, 6, 5\), то на доске будет набор \(1,5, 6, 30, 25, 150.\)

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.\)

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945\)?

в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно \(82\).

(ЕГЭ 2017, основная волна)