\(EABCD\) – пирамида, \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(1\) и \(\sqrt{3}\), \(\angle BAD = 60^{\circ}\). Из точки \(E\) опущен перпендикуляр \(EN\) на плоскость \((ABCD)\), причём точка \(N\) – точка пересечения диагоналей \(ABCD\), \(AE = \sqrt{5 + 0,25\sqrt{3}}\). Найдите объем пирамиды.
Объем пирамиды может быть найден по формуле \(V = \dfrac{1}{3}S\cdot h\), где \(S\) – площадь основания пирамиды, \(h\) – высота пирамиды.
Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле \(S_\text{пар.} = ab\cdot\sin\alpha\), где \(a\), \(b\) – не параллельные стороны параллелограмма, \(\alpha\) – угол между ними. \[S_{ABCD} = 1\cdot\sqrt{3}\cdot\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}.\]
Найдем \(EN\):
по теореме Пифагора для треугольника \(AEN\): \[EN^2 = AE^2 - AN^2.\]
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то \(AN = \dfrac{1}{2}AC\).
Найдем \(AC\) по теореме косинусов для треугольника \(ACD\): \[AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2\cdot AD\cdot DC\cdot\cos\angle ADC,\] но \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BAD = 120^{\circ}\), тогда \[AC^2 = 1 + 3 - 2\cdot 1\cdot\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 4 + \sqrt{3},\] откуда \[AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt{4 + \sqrt{3}}.\] Теперь \(EN^2 = 5 + \dfrac{\sqrt{3}}{4} - 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 4\), тогда \(EN = 2\), следовательно,
\[V_\text{пирамиды} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot 2 = 1.\]
Ответ: 1