а) Решите уравнение \[9^{\,\sin x}+9^{\,\sin (x+\pi)}=\dfrac{10}3\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{7\pi}2; -2\pi\right]\).
а) Так как по формуле приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\), то после замены \(9^{\,\sin x}=t, t>0\) уравнение примет вид \[t+\dfrac 1t=\dfrac{10}3\] Корнями этого уравнения будут \(t=3; \dfrac13\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9^{\,\sin x}=3\\[2ex] &9^{\,\sin x}=\dfrac13\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\dfrac12\\[2ex] &\sin x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решениями данной совокупности будут \(x_1=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) и \(x_2=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
б) Отберем корни. \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}6\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant k\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{13\pi}6\) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}2\) \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n\leqslant -\dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}6\)
Ответ:
а) \(\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n; k,n\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{19\pi}6; -\dfrac{17\pi}6; -\dfrac{13\pi}6\)