а) Решите уравнение \[\left(\dfrac{1}{16}\right)^{2\cos x} = 256^{\,\sin 2x}\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right]\)
а) ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Исходное уравнение равносильно уравнению \[16^{-2\cos x} = 16^{\,2\sin 2x}\qquad\Leftrightarrow\qquad -2\cos x = 2\sin 2x\,.\]
По формуле синуса двойного угла: \[-2\cos x = 4\sin x\cdot \cos x\quad\Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x + 1) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} \cos x = 0\\ \sin x = -\dfrac{1}{2} \end{gathered} \right.\]
1) \(\cos x = 0\), тогда \(x = \pm\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).
2) \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\), тогда \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m\), \(m\in\mathbb{Z}\) или \(x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \(-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n_1 \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{3\pi}{2}\leqslant 2\pi n_1 \leqslant \pi\), что равносильно \(-\dfrac{3}{4}\leqslant n_1 \leqslant \dfrac{1}{2}\), но \(n_1\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(n_1 = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).
\(-\pi\leqslant-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n_2 \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{\pi}{2}\leqslant 2\pi n_2 \leqslant 2\pi\), что равносильно \(-\dfrac{1}{4}\leqslant n_2 \leqslant 1\), но \(n\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(n_2 = 0\) и \(n_2 = 1\): \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) и \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).
\(-\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{5\pi}{6}\leqslant 2\pi m \leqslant \dfrac{5\pi}{3}\), что равносильно \(-\dfrac{5}{12}\leqslant m \leqslant \dfrac{5}{6}\), но \(m\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(m = 0\): \(x = -\dfrac{\pi}{6}\).
\(-\pi\leqslant \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \leqslant \dfrac{3\pi}{2}\) равносильно \(-\dfrac{13\pi}{6}\leqslant 2\pi k \leqslant \dfrac{\pi}{3}\), что равносильно \(-\dfrac{13}{12}\leqslant k \leqslant \dfrac{1}{6}\), но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = -1\) и \(k = 0\): \(x = -\dfrac{5\pi}{6}\) и \(x = \dfrac{7\pi}{6}\).
Ответ:
а) \(\pm\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi m\), \(\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k\), \(n,m,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{6}\), \(-\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\)