а) Так как общая масса всех осколков равна \(600\,000\) грамм, то каждому ходоку нужно \(600\,000:40=15\,000\) грамм.
Пусть шести ходокам Король раздаст по 15 осколков, каждый массой \(1000\) грамм.
Тогда у него останется еще 10 осколков по \(1000\) грамм и 100 осколков по \(5000\) грамм.
Седьмому ходоку Король даст 10 осколков по \(1000\) грамм и 1 осколок по \(5000\) грамм. А оставшиеся 99 осколков по \(5000\) грамм разделит поровну (по 3 осколка каждому) между 33 ходоками. Итого Король поощрил 40 ходоков.
Ответ: да.
б) Если хранителю Сурового дома Король даст \(40\,000\) грамм стекла, то 70 ходокам он должен в сумме отдать \(600\,000-40\,000=560\,000\) грамм.
Каждому ходоку нужно дать по \(8\,000\) грамм. Так как у Короля имеются осколки массой \(1000\) и \(5000\) грамм, то на каждого ходока нужно использовать как минимум 3 осколка массой \(1000\) грамм каждый. Следовательно, так как ходоков 70, то всего Королю нужно как минимум \(70\cdot 3=210\) таких осколков. А у него таких осколков 100.
Следовательно, ответ: нет.
в) Давайте сначала разберемся, что значит фраза “при любом распределении драконьего стекла между ними”. Это значит, что при любом размере поощрения каждого ходока, например, первому ходоку \(7\,000\) грамм драконьего стекла, второму – \(13\,000\), третьему – \(2\,000\) и т.д. (главное, чтобы в сумме все поощрения были равны \(600\,000\) грамм), Король смог имеющимися осколками каждому выдать нужное количество драконьего стекла. Также “при любом распределении драконьего стекла между ними” – это значит, что мы не знаем, при каком именно. А значит не имеем права брать какое-то конкретное распределение и решать задачу, используя только его.
Давайте вспомним, почему нам не получилось выдать поощрения ходокам в пункте б). Нам не хватило осколков по \(1000\) грамм, так как на каждого ходока уходило минимум три таких осколка.
А как можно сделать так, чтобы минимально тратить на поощрения ходока еще больше \(1000\)-граммовых осколков? Например, можно назначить ходоку поощрения в \(4000\) грамм, тогда никаким иным способом, кроме как выдать ему четыре осколка по \(1000\) грамм, поощрить его не получится. И чем больше таких ходоков будет, тем быстрее кончатся слитки по \(1000\) грамм. То есть самый худший случай, когда каждому ходоку нужно выдать четыре осколка по \(1000\) грамм.
Начнем искать ответ, начиная с 25 ходоков, так как всего 100 осколков по \(1000\) грамм и худший вариант – когда каждый получит по четыре осколка.
Пусть у нас есть некоторое распределение поощрений для этих 25 ходоков. Начнем выдавать поощрения всем по очереди, начиная с первого ходока. Очевидно, что осколков по \(1000\) грамм нам хватит до самого конца, и \(5000\)-граммовых нам тоже хватит до самого конца, так как если бы их не хватило, то это значило бы, что сумма всех поощрений больше \(600\,000\) грамм.
Теперь посмотрим, удастся ли нам сделать то же самое для 26 ходоков. Сначала раздадим всем ходокам \(5000\)-граммовые осколки так, чтобы каждому осталось доплатить сумму, меньшую, чем \(5000\) грамм. Заметим, что мы тогда раздали \(500\,000\) грамм драконьего стекла и нам осталось раздать еще \(100\,000\). Дальше первым 25-ти ходокам раздадим необходимое количество осколков по \(1000\) грамм. Это мы сделать точно сможем по доказанному ранее. Пусть мы раздали \(x\) \(1000\)-граммовых осколков первым 25-ти ходокам. Тогда всего у нас осталось \(1000\)-граммовых осколков \(100-x\). Следовательно, всего нам осталось раздать \(100\,000-1000x=1000(100-x)\) грамм драконьего стекла. То есть в любом случае количество драконьего стекла, которое у нас осталось, совпадает с количеством драконьего стекла, которое нужно доплатить 26 ходоку, а значит мы всегда сможем это сделать.
Покажем, что для 27 ходоков существует распределение поощрений, которые мы выдать не сможем.
26 ходокам по \(4000\) грамм, а 27-ому – \(496\,000\) грамм. Выдать поощрения мы не сможем, так как нам понадобится как минимум 105 \(1000\)-граммовых осколков драконьего стекла.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 26