Найдите точку локального минимума функции
\(y = -\dfrac{x^2 + 2016^2}{x}\).
ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:
1) \[y' = -\dfrac{2x^2 - (x^2 + 2016^2)}{x^2} = \dfrac{2016^2 - x^2}{x^2}.\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[\dfrac{2016^2 - x^2}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 = 2016^2\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -2016, \ x_2 = 2016\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(2016-x)(2016+x)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = -2016\) – точка локального минимума функции \(y\).
Ответ: -2016