а) Предположим, что существуют такие \(x,y\), что \(q:d=204\).
Рассмотрим самый простой случай, когда \(d=1\), то есть числа взаимно просты. Тогда \(q=204\).
Так как \(q\cdot d=x\cdot y\), то получаем: \(xy=204\).
Заметим, что \(204=2^2\cdot 3\cdot 17\). Следовательно, нужно составить из множителей \(2, 2, 3, 17\) такие числа \(x\) и \(y\), чтобы их НОД был равен \(1\), и они подходили в \(7x=16y-73\). Перебором убеждаемся, что подходят \(x=17\) и \(y=12\).
Ответ: да.
б) Выпишем решения уравнения \(7x=16y-73\) в натуральных числах. Выразим: \[x=\dfrac{16y-73}7=2y-10+\dfrac{2y-3}7\] Чтобы \(x\) был натуральным, как минимум нужно, чтобы \(\frac{2y-3}7\) было целым числом. Это возможно только тогда, когда \(2y-3\) делится без остатка на \(7\). Все возможные остатки при делении \(y\) на \(7\) – это \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\). Заметим, что нам подходит только случай, когда \(y\) при делении на \(7\) дает в остатке \(5\), то есть \(y=7k+5\) (\(k\geqslant 0\)). Тогда \[x=2(7k+5)-10+\dfrac{2(7k+5)-3}7=16k+1, k\geqslant 0\] Таким образом, решением уравнения \(7x=16y-73\) будут \(x=16k+1,
y=7k+5\), \(k\geqslant 0\).
Предположим, что существуют такие \(x,y\), что \(q:d=2\).
1) Если \(d=1\), то \(q=2\). Следовательно, аналогично пункту а), \(2=q=xy\).
Заметим, что так как \(k\geqslant 0\), то \(xy\geqslant (0+1)(0+5)=5\). Следовательно, \(q\) не может быть равно \(2\). Получили противоречие.
2) Пусть \(d>1\). Следовательно, можно записать \(x=ds\), \(y=dr\) (\(s,r\) – натуральные). И тогда уравнение \(7x=16y-73\) перепишется как \(d(16r-7s)=73\). Тогда, так как \(d, r, s\) – натуральные числа, то \(73\) должно делиться на \(d\). Но \(73\) – простое число, и делится только на \(1\) или на \(73\). Следовательно, \(d=73\). Тогда \(16r-7s=1\). Полученное уравнение также можно решить в натуральных числах (аналогично пункту б)) и получить решения \(r=7p+4\), \(s=16p+9\), \(p\geqslant 0\).
Следовательно, \(x=73(16p+9)\), \(y=73(7p+4)\), \(p\geqslant 0\).
Тогда \(2\cdot 73^2=\frac qd\cdot d^2=qd=xy\).
Но \(xy\geqslant 73(0+9)\cdot 73(0+4)=73^2\cdot 9\cdot 4\), а это явно больше \(2\cdot 73^2\). Следовательно, также получили противоречие.
Ответ: нет.
в) Заметим, что в пункте б) мы доказали, что существует лишь два варианта, чему может быть равно \(d\): либо \(1\), либо \(73\). Причем:
1) если \(d=1\), то \(xy\geqslant 5\). Значит, \(q:d=q=xy\geqslant 5\), то есть минимальное значение для \(q:d=5\).
2) если \(d=73\), то \(xy\geqslant 73^2\cdot 9\cdot 4\). Значит, \(q:d=xy:d^2\geqslant73^2\cdot 9\cdot 4:73^2=36\). То есть минимальное значение для \(q:d\) равно \(36\).
Таким образом, мы видим, что минимально возможное значение для \(q:d\) равно \(5\).
Приведем пример.
Этот минимум мы получили из случая, когда \(d=1\) и \(x=16k+1\), \(y=7k+5\) при \(k=0\). Следовательно, пример: \(x=1, y=5\).
Ответ:
а) да
б) нет
в) 5