Найдите наибольшее значение функции \(y = x^3 - 6x^2 + 32\) на отрезке \([-2; 5]\).
1) \(y' = 3x^2 - 12x\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 12x = 0,\] откуда находим корни \(x_1 = 4,\ x_2 = 0\). Таким образом, \[y' = 3x(x-4).\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 5]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 5]\):
Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([-2; 5]\) функция достигает в \(x = 0\) или в \(x = 5\). Сравним эти значения:
\(y(0) = 32\),
\(y(5) = 125 - 150 + 32 = 7\).
Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([-2; 5]\) равно \(32\).
Ответ: 32