Решите неравенство
\[\begin{aligned} 2^{\left(3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 3^0\right)} > 3^{\left(4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2\right)} \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Так как левая и правая части исходного неравенства положительны, то от них можно взять \(\log_2\), в результате чего получим равносильное неравенство
\[\begin{aligned} &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > \log_2 3^{\left(4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2\right)}\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2)\cdot \log_2 3\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1})\cdot \log_2 3 + 1\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1})\cdot \log_2 3 \end{aligned}\]
Поделим последнее неравенство на \(2^x\cdot 3^x\):
\[\begin{aligned} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x} + 1 > \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} - 3\right)\cdot \log_2 3 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = t > 0\):
\[\begin{aligned} t + 1 > \left(\dfrac{1}{t} - 3\right)\cdot \log_2 3, \end{aligned}\]
что при \(t > 0\) равносильно
\[\begin{aligned} t^2 + t > \left(1 - 3t\right)\cdot \log_2 3\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 + (3\log_2 3 + 1)t - \log_2 3 > 0 \end{aligned}\]
Решим уравнение
\[\begin{aligned} t^2 + (3\log_2 3 + 1)t - \log_2 3 = 0 \end{aligned}\]
его дискриминант \(D = (3\log_2 3 + 1)^2 + 4\log_2 3 = 9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1, > 0,\) следовательно, \[t = \dfrac{-(3\log_2 3 + 1)\pm \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2},\] так как \(\log_2 3 > 0\), то \(D > (3\log_2 3 + 1)^2\), следовательно, ровно один из корней больше нуля:\[t = \dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}\]
По методу интервалов при \(t > 0\)
откуда \(t\in\left(\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\), следовательно, \[x\in\left(\log_{\frac{3}{2}}\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\,.\]
Ответ:
\(\left(\log_{\frac{3}{2}}\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\)