Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 4)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Ознакомиться с полной теорией

Задание 22 #379

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[101]{13 + 12x} = 1\).

Показать решение

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(13 + 12x = 1^{101}\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 23 #380

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[2016]{7x + 22} = 1\).

Показать решение

ОДЗ: \(7x + 22 \geq 0\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(7x + 22 = 1^{2016}\), что равносильно \(x = -3\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -3

Задание 24 #3999

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x-4}=3.\)

Показать решение

ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).
Уравнение равносильно \(x-4=3^3\), следовательно, \(x=31\).

Ответ: 31

1 ... 3 4 cледующая
подтема