Укажите в ответе сумму квадратов корней уравнения \(\sqrt5x^2-\sqrt{13}x-\sqrt{20}=0\), если они есть, и \(0\), если уравнение не имеет корней.
Т.к. \(D=13+4\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{20}=13+40=53>0\), то уравнение имеет корни.
1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\), \(ab=-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2=
\left(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt5}\right)^2-2\cdot
\left(-\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt5}\right)=\dfrac{13}5+4=6,6.\]
2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\qquad\text{и}\qquad
x_2=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\] Тогда \[\begin{aligned}
&x_1^2=
\left(\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2=
\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex]
&x_2^2=\left(\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{53}}{2\sqrt5}\right)^2=
\dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}\\[2ex]
&\Rightarrow \quad
x_1^2+x_2^2=\dfrac{13-2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}+
\dfrac{13+2\sqrt{13}\sqrt{53}+53}{20}=6,6.
\end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.
Ответ: 6,6