Задачи на движение по воде (страница 2)

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Ответ: 140

Пусть \(v_{\text{т}}\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\), тогда

\(18 + v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 - v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты против течения,

\(\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

\(\dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}} = \dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{180(18 - v_{\text{т}}) - 144(18 + v_{\text{т}})}{(18 + v_{\text{т}})(18 - v_{\text{т}})} = 0\,,\] что при \(v_{\text{т}}\neq \pm 18\) равносильно \(v_{\text{т}} = 2\).

Ответ: 2

Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\), тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\, км\).

Так как обратный путь занял \(2\, ч\), то \[20 + v_{\text{т}} = 2\cdot (13 - v_{\text{т}})\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 2\, км/ч.\]

Ответ: 2

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_{\text{л}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час лодка проплыла \(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}\), а за второй час (на обратном пути) \(v_{\text{л}} - v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{л}} - v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.

Ответ: 5

Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\), тогда

\(\dfrac{60}{v + 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

\(\dfrac{60}{v - 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac{60}{v + 2} + \dfrac{60}{v - 2} = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\), откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac{2}{11}\). Так как \(v > 0\), то ответ \(22\) км/ч.

Ответ: 22

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_{\text{я}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час Игорь проплыл \(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}\), а за второй час \(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - (v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - 0,5(v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}) - 0,25(v_{\text{я}} - v_{\text{т}})| = 0,5v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_{\text{т}}\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\, км\), тогда \[3,5v_{\text{т}} = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 3\,.\]

Ответ: 3

Время, прошедшее с момента отправления до момента встречи, равно отношению суммарного расстояния к скорости сближения.

Независимо от того, какой была скорость течения, куда оно было направлено, у какого из теплоходов скорость была \(22\, км/ч\), скорость сближения теплоходов всё равно будет \(20 + 22 = 42\, км/ч\). Таким образом, \[t_0 = \dfrac{357}{42} = 8,5\,.\]

Ответ: 8,5