Нахождение корней квадратного трехчлена (страница 2)

\[\begin{aligned} &-4a^4x + 12 a^2x + x^2 - 11x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - (4a^4 - 12a^2 + 11)x + 8a = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^2 - \bigl((2a^2 - 3)^2 + 2\bigr)x + 8a = 0. \end{aligned}\]

По теореме Виета (если у данного уравнения есть корни) \[x_1 + x_2 = (2a^2 - 3)^2 + 2.\]

Данное выражение положительно при любом \(a\), следовательно, \[\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi = -\sqrt{e}\cdot(x_1 + x_2)^3 - \pi < 0\] – при любом \(a\), тогда значение выражения \(\sqrt{e}\cdot(-x_1 - x_2)^3 - \pi\) максимально при тех же \(a\), при которых минимально значение выражения \(x_1 + x_2\).

Значение выражения \(x_1 + x_2\) будет наименьшим при \(a^2 = \dfrac{3}{2}\), то есть при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).

Остаётся только проверить, что при \(a = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) у уравнения будут корни. При \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x + 8\sqrt{\dfrac{3}{2}}= 0.\] Так как дискриминант \(D = 4 - 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} < 0\), то у данного уравнения нет корней, следовательно, \(a = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\) нам не подходит. При \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\): \[x^2 + 2x - 8\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 0.\] Так как дискриминант \(D = 4 + 32\sqrt{\dfrac{3}{2}} > 0\), то у данного уравнения есть два корня.
В итоге ответ: при \(a = -\sqrt{\dfrac{3}{2}}\).

Ответ:

\(-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)

Для того, чтобы найти \(P(x)\), необходимо и достаточно найти числа \(a\), \(b\), \(c\). Попробуем найти их.

а)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(-1) = a - b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[\dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = a + c = a + P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} - P(0)\,,\] откуда \[P(1) = a + b + c = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} + b\qquad\Rightarrow\qquad b = \dfrac{P(1) - P(-1)}{2}\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят.

б)

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(0) = c\\ &P(1) = a + b + c\\ &P(2) = 4a + 2b + c \end{cases} \end{aligned}\]

Тогда \[P(2) - 2P(1) = 2a - c = 2a - P(0)\qquad\Rightarrow\qquad a = 0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)\,,\] таким образом, \[b = P(1) - a - c = P(1) - (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2)) - P(0) = -1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2)\]

Подставляя полученные \(a\), \(b\) и \(c\) в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят, следовательно, \[P(x) = (0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\,.\]

в) Покажем, что Шерлок Холмс прав:

\[\begin{aligned} \begin{cases} &P(n - 1) = a(n - 1)^2 + b(n - 1) + c\\ &P(n) = an^2 + bn + c\\ &P(n + 1) = a(n + 1)^2 + b(n + 1) + c\,, \end{cases} \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} = a\cdot\dfrac{(n - 1)^2 + (n + 1)^2}{2} + bn + c = a(n^2 + 1) + bn + c = P(n) + a\,, \end{aligned}\]

тогда

\[\begin{aligned} a = \dfrac{P(n - 1) + P(n + 1)}{2} - P(n)\,. \end{aligned}\]

Рассмотрим разность \(P(n + 1) - P(n)\):

\[\begin{aligned} P(n + 1) - P(n) = a(2n + 1) + b\qquad\Rightarrow\qquad b = P(n + 1) - P(n) - a(2n + 1)\,, \end{aligned}\]

но число \(a\) нам уже известно, тогда отсюда находим \(b\). Кроме того, имеем: \[P(n) = an^2 + bn + c\qquad\Rightarrow\qquad c = P(n) - an^2 - bn\,,\] но \(a\) и \(b\) нам известны, следовательно, находим \(c\).

Таким образом, искомые числа \(a\), \(b\) и \(c\), если они существуют, находятся однозначно.

Ответ:

а) Да

б) \((0,5P(0) - P(1) + 0,5P(2))x^2 + (-1,5P(0) + 2P(1) - 0,5P(2))x + P(0)\)

в) Да

а) Рассмотрим уравнение \(ax^2+bx+c=0\) и найдем его дискриминант: \[D=b^2-4ac\] Так как \(a, b, c\) образуют арифметическую прогрессию, то можно сказать, что \(a=b-d\), \(c=b+d\), где \(d\) – разность арифметической прогрессии. Тогда \[D=b^2-4(b-d)(b+d)=4d^2-3b^2\] Если уравнение имеет один корень, то \(D=0\): \[4d^2-3b^2=0 \quad\Rightarrow\quad 2d=\pm \sqrt3b\] Следовательно, ответ: может. Например, если взять \(b=2\), \(d=\sqrt3\): \[(2-\sqrt3)x^2+2x+2+\sqrt3=0\]

б) Из пункта а) следует, что \[b=\pm \dfrac{2}{\sqrt3}d\]

1) \(b=\dfrac{2}{\sqrt3}d\). Тогда уравнение выглядит так: \[\begin{aligned} &\left(\dfrac2{\sqrt3}d-d\right)x^2+\dfrac2{\sqrt3}dx+ \left(\dfrac2{\sqrt3}d+d\right)=0 \ \Big|\cdot \dfrac{\sqrt3}{(2-\sqrt3)d} \quad\Rightarrow \\[2ex] &\Rightarrow \quad x^2+\dfrac2{2-\sqrt3}x+\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2(2+\sqrt3)x+(2+\sqrt3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x+2+\sqrt3)^2=0 \end{aligned}\] Следовательно, первый трехчлен имеет вид \((x+2+\sqrt3)^2\).

2) \(b=-\dfrac2{\sqrt3}d\). Тогда уравнение выглядит так: \[\begin{aligned} &\left(-\dfrac2{\sqrt3}d-d\right)x^2-\dfrac2{\sqrt3}dx+ \left(-\dfrac2{\sqrt3}d+d\right)=0 \ \Big|\cdot \dfrac{\sqrt3}{(-2-\sqrt3)d} \quad\Rightarrow \\[2ex] &\Rightarrow \quad x^2+2(2-\sqrt3)x+(2-\sqrt3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x+2-\sqrt3)^2=0 \end{aligned}\] Следовательно, второй трехчлен имеет вид \((x+2-\sqrt3)^2\).
Таким образом, всего существует два приведенных трехчлена, удовлетворяющих заданным условиям.
В обоих случаях мы имеем право делить на \(d\), так как по условию прогрессия непостоянная, следовательно, разность не равна нулю.

в) Пусть \((b-d)x^2+bx+(b+d)=0\) имеет два корня, то есть \[D=4d^2-3b^2>0\] Пусть \(x_1\), \(x_2\) – корни. Тогда \(x_1+x_2=-\dfrac b{b-d}\), \(x_1\cdot x_2=\dfrac{b+d}{b-d}\).
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\dfrac b{b-d}\right)^2-2\cdot \dfrac{b+d}{b-d}=\dfrac{2d^2-b^2}{(b-d)^2}= \dfrac{2\left(\frac db\right)^2-1}{(\frac db-1)^2}\] Рассмотрим функцию \[f(t)=\dfrac{2t^2-1}{(t-1)^2}\] Ее производная \[f'=\dfrac{2-4t}{(t-1)^3}\] Следовательно, знаки производной:



Следовательно, при \(t\in \left(-\infty;\frac12\right)\cup (1;+\infty)\) функция убывает, при \(t\in \left(\frac12;1\right)\) функция возрастает.
Из условия \(\dfrac cb\leqslant 0\) следует: \[\dfrac {b+d}b\leqslant 0\quad\Rightarrow\quad 1+\dfrac db\leqslant 0 \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac db\leqslant -1\] Заметим, что при \(\dfrac db\leqslant -1\) выполняется условие, что дискриминант положителен: \(D=4d^2-3b^2>0\).
Таким образом, нужно найти наименьшее значение \(f(t)\) при \(t\leqslant -1\). Так как при \(t\leqslant -1\) функция убывает, то наименьшее значение будет в точке \(t=-1\): \[f(-1)=\dfrac14.\]

Ответ:

а) да

б) \((x+2+\sqrt3)^2\) и \((x+2-\sqrt3)^2\)

в) 0,25